圆型限制性三体问题

圆型限制性三体问题（ circular restricted three-body problem ），研究一个无限小质量体在两个有限质量体（围绕公共质点作圆周运动）的万有引力作用下运动的规律问题。在航天活动中，可以把航天器看作一个无限小质量体。航天器在地球-月球引力作用下，或者在太阳-地球引力作用下，或者在太阳-某大行星引力作用下的运动问题，都可以近似看地成圆型限制性三体问题。

能量积分

在研究圆型限制性三体问题时采用一个与两个有限体一起运动的旋转坐标系。坐标原点在公共质心上，图中标出了X、Y轴的方向，P1、P2为两个有限质量体，X-Y平面是两个有限质量体运动的平面。Z轴与X、Y轴垂直。在这个参考坐标系中，无限小质量体的运动速度与位置有下面的关系：

式中v为无限小质点在旋转坐标系中的速度；x、y、r1、r2分别为小质点的位置坐标和到P1、P2的距离；G为万有引力常数；m1、m2分别为P1和P2的质量；C为积分常数，它依赖于无限小质点初始位置和初始速度。这个公式是圆型限制性三体问题的能量积分，常称为雅可比积分。仅有这个关系式还不能描述小质量体的运动。迄今为止圆型限制性三体问题还没有解出。无限小质量体的实际运动只能用数值计算方法求解。航天器在地球-月球引力作用下的运动，用能量积分不仅能够给出航天器的位置与速度的关系，并且从中可以引出零速度面和平动点两个有用的概念。

零速度面

在能量积分的公式中，当V等于0时，公式描述了一个空间曲面，称为零速度面。它是航天器所能够达到的范围与不能达到的范围的分界面。零速度面与航天器的初始位置和初始速度有关。在初始位置一定的情况下，初始速度增加，航天器所能达到的范围增大，不可到达的范围缩小。图中P1和P2分别代表地球和月球，阴影部分表示航天器不能到达的区域，图中a～f表示随着初始速度增加不能到达的范围缩小的过程。在a中，两个卵形区域互不连通，这表明在这样的初始速度下航天器不可能到达月球。在b中两个卵形区域相切于L1点，与它对应的速度是从地球发射航天器可能到达月球的最小速度。在c中两个卵形区相通，从地球发射的航天器可能从裂开的窗口飞往月球。在d中零速度面相切于L2点，航天器不能逃逸出地-月系统。有e中零速度面再次相切于L3点。在f中零速度面收缩到L4、L5两点。距地面200公里处的航天器在初速为10.848公里/秒时，就会出现b的情况，这是飞向月球的最小速度。d 所对应的初速为10.849公里/秒，要想脱离地-月系统，航天器的初速不得小于这个数值。e和f所对应的初速分别为10.857公里/秒和10.858公里/秒，在这几种情况下的初速相差很小。

平动点

是指零速度面随初始速度而变化的过程中新出现的零速度面的三个切点(图中的L1、L2、L3)和两个消失点(图中的L4、L5)。其中L1、L2和L3处在地－月连线上。L4(或L5)与地球和月球是等边三角形的三个顶点。平动点是航天器运动的特解。在旋转坐标系中如果在平动点上有初速为零的航天器，则航天器的速度将始终为零，也就是说，它在旋转坐标系中是不动的航天器。实际上航天器是围绕地球作圆周运动，它的运动角速率和月球的相同。在平动点周围运动的航天器具有特殊的作用。（见晕轨道）。