地图投影
地图投影（map projection），按一定的数学法则，把地球椭球表面的经纬线网转化为平面上相应的经纬线网的理论和方法。这种转化的实质，是将地球椭球表面上的点表示在平面上。一般数学解析式为： X＝ f1(φ,λ)，Y＝f2(φ,λ)。φ、λ是地球椭球表面点的地理坐标，X、Y是平面上相应点的直角坐标，函数 f1、f2在一定域内必须是单值、有限而连续的。
投影变形
地图是一个平面，而地球椭球面是不可展开的曲面。把不可展开的曲面上的经纬线网描绘成平面上的图形，必然会发生各种变形。地图投影的变形包括长度、面积、角度（形状）等几个方面，可用变形椭圆形象地描述。变形椭圆是地球椭球表面上一点的半径为单位值的微分圆，在投影面上一般是一个微分椭圆。研究这个椭圆可以解释投影中变形的特性和大小。
图1中，0栏表示投影中只有个别点或线能保持主比例尺。1栏表示变形椭圆长、短半径a、b都比实地的r放长或缩短，但a＝b，因此形状没有变化，为等角投影。2栏表示a、b中的一个等于1，另一个不等于1，因此形状有变化但距离没有变化，为等距离投影。3栏表示a、b都不等于1，但它们之间保持有一定的关系，即a＝1/b或 ab＝1，因此形状变了但面积没有变化，为等面积投影。4栏里的形状和面积均发生了变化，为任意投影。任何地图投影的变形性质，必属于图1中的某一栏。
投影分类
地图投影按投影的变形性质或正常位置下投影的经纬线形状进行分类。
按变形性质分类：①等角投影（正形投影）。因a=b=1，这种投影两个方向之间的夹角大小投影后保持不变。②等距离投影。因a=1或b=1，这种投影能保持一定方向上线段的长度不变。③等面积投影。因ab=1，投影后面积大小保持不变。④任意投影。凡不属于等角或等面积的投影都可称为任意投影。等距离投影是任意投影的一种。
按正常位置下经纬线形状分类。①圆锥投影。纬线投影为同心圆弧，经线投影为同心圆弧的半径，两经线间夹角与相应的经差成正比。②圆柱投影。纬线投影为一组平行直线，经线投影为一组与纬线正交的平行直线，其间隔与相应的经差成正比。③方位投影。纬线投影为同心圆，经线投影为同心圆的半径，两经线间的夹角与相应的经差相等。
图2中辅助面与地球相切或相割之处为一条线或两条线（如在割圆锥、割圆柱）或一个点（切方位），在这些线或点上没有变形。没有变形的纬线成为标准纬线，没有变形的经线成为标准经线。
有些投影不设某种几何辅助面，而设一些其他假定条件。如：伪圆锥投影，纬线投影为同心圆弧，圆心位于中央直经线上，其他经线投影为对称于中央直经线的曲线。伪圆柱投影，纬线投影为平行直线，经线投影为对称于中央直经线的曲线；为了适应世界大陆的分布情况，伪圆柱投影可以作分瓣处理。伪方位投影，纬线投影为同轴圆弧，圆心位于中央直经线上，其他经线投影为对称于中央直经线的曲线。多圆锥投影，纬线投影为同轴圆弧，圆心位于中央直经线上，其他经线投影为对称于中央直经线的线。
常用投影
有用于中国全图的斜轴等面积方位投影，用于中国大陆部分的双标准纬线等角圆锥投影。用于航海图的墨卡托投影（实质上是等角圆柱投影），用于中纬度地球的兰伯特等角圆锥投影和亚尔勃斯等面积圆锥投影、用于广大地区小比例尺地图的彭纳伪圆锥投影，用于地形图的高斯–克吕格尔投影等。
在选择和应用投影时，要考虑制图区域的地理位置、大小和形状等因素，使等变形线尽可能同制图区域轮廓一致。如两极地区可采用正轴等距离（或等角）方位投影；广大中纬度地区通常采用正轴圆锥投影；沿赤道地区宜采用正轴圆柱投影；沿经线伸展的地区可采用横轴圆柱投影；具有圆形轮廓的地区，可应用把投影面切于区域中心处的各种方位投影；东西半球图常用横轴方位投影；太平洋、印度洋图常用伪圆柱投影；大西洋图宜用伪方位投影等。
地图主题内容对投影变形也有一定要求。例如，经济图有时要同地区面积联系，宜用等面积投影；如要在图上量算角度距离，则宜用等角投影；要求某种变形不特别显著，则可用任意投影中的等距离投影。地形图用于军事和经济建设，要求精度高，故采用按经线分带的高斯–克吕格尔投影(图3)。在实际应用时还要考虑地图的比例尺和使用方式，地图的出版方式，以及对地图投影的其他特殊要求等。
投影变换
随着地图制图自动化的发展，研究将一种地图投影点的坐标变换为另一种地图投影点的坐标的理论和方法日益重要和迫切。在制图自动化作业中，如要变换地图投影，首先必须提供从一种地图投影点的坐标变换为另一种地图投影点的坐标的关系式，即数学模式，以便使用计算机时编制进行变换计算的程序。
地图投影变换实质上是两平面场之间点的坐标变换。假定原图点的坐标为x和y，新编图点的坐标为X和Y，则点的坐标变换的基本方程式为：X＝F1(x,y)，Y＝F2(x,y)。地图投影点的坐标变换通常有解析变换法、数值变换法和数值解析变换法等。解析变换法是找出两投影间坐标变换的解析计算公式。数值变换法是在不知道原投影点的坐标解析式或不易求出两投影点之间坐标的直接关系式情况下，可以采用二元幂多项式来建立两投影间的变换关系式。数值解析变换法是先求得原投影的地理坐标 x、y，然后代入新投影方程式中，即可实现两种投影间的变换关系式。国内外都已研究设计出各种投影变换的软件系统，可以直接利用这些软件进行投影变换。
