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'''域论'''([[英语]]:field theory),研究具有两个有逆运算的二元交换运算代数系的理论。[[代数学]]的基本分支之一。域论也是[[代数数论]]、[[代数几何学]]及一些相关[[数学]]分支的基础。 称集合F为域是指:①F上定义了两个交换的且满足结合律的运算(加法与乘法);②F至少有两个元素(加法的零元0与乘法的单位元1);③对加法与乘法满足分配律;④对加法成交换群(因而每一个元素都有负元),非零元对乘法成交换群(因而每一非零元都有逆元)。全体[[实数]]'''R'''、全体[[有理数]]'''Q'''、全体[[复数]]'''C'''对通常的加乘运算分别为实数域、有理数域、复数域。{a+ [[文件:域论1.jpg|center|100px|]] 为有理数} 对通常的加乘运算也成域。这些域都有无穷多个元素,而当 p为[[素数]]时 [[文件:域论2.jpg|center|200px|]] 对模 p的加乘运算(运算后取被 p除的余数)也成域,其元素数 p有限,是最基本的[[有限域]],也常记为 F<sub>p</sub>或GF( p)。对域的单位元1, n·1=1+1+…+1( n个1之和)只有两种可能:①对一切 n, n·1≠0,此时称 F的特征为0,记为 ch F=0;②有最小的 n使 n·1=0,此时 n必为某一素数 p,称这种域的特征为 p,记为 ch F= p。比如 ch '''R'''= ch '''Q'''= ch '''C'''=0,而 ch '''Z'''<sub>p</sub>= p。 如果F是域E的子集合且在E的运算下也成域,则称F为E的子域,E为F的扩域。最小的子域又称为素域。特征为0的域的素域与Q同构(保持加乘运算的一一对应称同构),特征为p的域的素域与Zp同构。对于域F,任取一集合S,一切形如f(s<sub>1</sub>,…,s<sub>n</sub>)/g(s<sub>1</sub>,…,s<sub>n</sub>)(g(s<sub>1</sub>,…,s<sub>n</sub>)≠0,f,g为系数在F中的多元多项式函数,s<sub>1</sub>,…,s<sub>n</sub>∈S)的元素按通常的加乘运算成为一域E,称为F添加S的扩张(域),记为E=F(S)。当S只有一个元素α时,记为E=F(α),称为F的单扩张。当S={α<sub>1</sub>,…,α<sub>m</sub>}时,记为E=F(α<sub>1</sub>,…,α<sub>m</sub>),称为F的有限生成扩张。对于F的任意扩域E,E必为F上的线性空间,此空间的维数常记为[E: F],又称为E对F的扩张次数。扩张次数有限时又称为有限(次)扩张(必为有限生成扩张)。α∈E为F上的一个非零多项式的零点时,称α为F上的代数元,否则,就称α为F上的超越元。如果F的扩域E中一切元素都是F上的代数元,则称E为F的代数扩张,否则,就称E为F的非代数扩张。特别地,F添加超越元的扩张称为超越扩张。代数扩张的代数扩张仍为代数扩张。对F的任意扩域E,E中全体(F上的)代数元成为F,E的中间域K,又称K为F在E中的代数闭包。a∈E但a"K时,a必为F上的超越元。比如取F='''Q''',E='''C''',a为π(圆周率)或e(自然对数的底),K为('''C'''中)'''Q'''上代数元所成的域,则a"K,'''Q'''(a)为'''Q'''的超越扩张。著名的吕洛特定理指出:若E=F(a)为F的单超越扩张,则F与E的中间域L(≠F时)必为F的单超越扩张。这条定理对平面曲线有着有趣的几何意义。 对研究一元[[代数方程]]根式解发展起来的[[伽罗瓦理论]],域论起着重要的作用,事实上二者是互相渗透、密不可分的。 实数(或复数)的绝对值概念推广到域上又产生出有用的赋值论。赋值的概念是1913年J.屈而沙克提出的。设φ为域F上取非负实数值的函数,且满足: ①φ(a)=0当且仅当a=0,且有a∈F使φ(a)≠1 ②φ(ab)=φ(a)φ(b) ③φ(a+b)≤φ(a)+φ(b)则称φ是F上的一个赋值或绝对值。后来,A.奥斯特罗夫斯基又引进另一种赋值φ,它满足①与②以及 ④φ(a+b)≤max(φ(a),φ(b))且称这种φ为非阿基米德赋值(绝对值),而实数域与复数域的通常绝对值则称为阿基米德赋值。借助于F上的赋值φ,可将分析中的一些概念引入到F中,如柯西序列。设{a<sub>i</sub>}是F的一个序列。若对任意实数ε>0,必有自然数n0,使得当m,n≥n<sub>0</sub>时,恒有φ(a<sub>m</sub>-a<sub>n</sub>)<ε,则称{a<sub>n</sub>}为(F,φ)的一个φ柯西序列。若对于序列{a<sub>i</sub>},有a∈F,使得当n≥n<sub>0</sub>时恒有φ(an-a)<ε,则称{ai}是φ收敛的,而a称为它的φ极限。若(F,φ)中每个φ柯西序列都是φ收敛的,则称F关于φ是完全的,或者说(F,φ)是完全域(complete field)。上述赋值中的“非负实数”可推广为有序交换群Г,从而引出赋值环、赋值阶的研究。当Г为无限循环群时,又称为离散赋值。 ===参见=== *[[数学]] *[[数学基本条目]] *[[代数学]] [[Category:数学]] [[Category:数学史]] [[Category:代数学]] [[Category:中文词典]] [[Category:Y音词语]] [[Category:域]]
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