域论
域论（英语：field theory），研究具有两个有逆运算的二元交换运算代数系的理论。代数学的基本分支之一。域论也是代数数论、代数几何学及一些相关数学分支的基础。
称集合F为域是指：①F上定义了两个交换的且满足结合律的运算(加法与乘法)；②F至少有两个元素(加法的零元0与乘法的单位元1)；③对加法与乘法满足分配律；④对加法成交换群(因而每一个元素都有负元)，非零元对乘法成交换群(因而每一非零元都有逆元)。全体实数R、全体有理数Q、全体复数C对通常的加乘运算分别为实数域、有理数域、复数域。{a+
为有理数}
对通常的加乘运算也成域。这些域都有无穷多个元素，而当 p为素数时
对模 p的加乘运算(运算后取被 p除的余数)也成域，其元素数 p有限，是最基本的有限域，也常记为 Fp或GF( p)。对域的单位元1， n·1＝1＋1＋…＋1( n个1之和)只有两种可能：①对一切 n， n·1≠0，此时称 F的特征为0，记为 ch F=0；②有最小的 n使 n·1＝0，此时 n必为某一素数 p，称这种域的特征为 p，记为 ch F= p。比如 ch R= ch Q= ch C=0，而 ch Zp= p。
如果F是域E的子集合且在E的运算下也成域，则称F为E的子域，E为F的扩域。最小的子域又称为素域。特征为0的域的素域与Q同构(保持加乘运算的一一对应称同构)，特征为p的域的素域与Zp同构。对于域F，任取一集合S，一切形如f(s1,…,sn)/g(s1,…,sn)(g(s1,…,sn)≠0，f,g为系数在F中的多元多项式函数，s1,…,sn∈S）的元素按通常的加乘运算成为一域E，称为F添加S的扩张(域)，记为E=F(S)。当S只有一个元素α时，记为E=F(α)，称为F的单扩张。当S={α1,…,αm}时，记为E=F(α1,…,αm)，称为F的有限生成扩张。对于F的任意扩域E，E必为F上的线性空间，此空间的维数常记为[E: F]，又称为E对F的扩张次数。扩张次数有限时又称为有限(次)扩张(必为有限生成扩张)。α∈E为F上的一个非零多项式的零点时，称α为F上的代数元，否则，就称α为F上的超越元。如果F的扩域E中一切元素都是F上的代数元，则称E为F的代数扩张，否则，就称E为F的非代数扩张。特别地，F添加超越元的扩张称为超越扩张。代数扩张的代数扩张仍为代数扩张。对F的任意扩域E，E中全体(F上的)代数元成为F，E的中间域K，又称K为F在E中的代数闭包。a∈E但a"K时，a必为F上的超越元。比如取F＝Q，E=C，a为π(圆周率)或e(自然对数的底)，K为(C中)Q上代数元所成的域，则a"K，Q(a)为Q的超越扩张。著名的吕洛特定理指出：若E=F(a)为F的单超越扩张，则F与E的中间域L(≠F时)必为F的单超越扩张。这条定理对平面曲线有着有趣的几何意义。
对研究一元代数方程根式解发展起来的伽罗瓦理论，域论起着重要的作用，事实上二者是互相渗透、密不可分的。
实数(或复数)的绝对值概念推广到域上又产生出有用的赋值论。赋值的概念是1913年J.屈而沙克提出的。设φ为域F上取非负实数值的函数，且满足：
①φ(a)=0当且仅当a=0，且有a∈F使φ(a)≠1
②φ(ab)=φ(a)φ(b)
③φ(a+b)≤φ(a)+φ(b)则称φ是F上的一个赋值或绝对值。后来，A.奥斯特罗夫斯基又引进另一种赋值φ，它满足①与②以及
④φ(a+b)≤max(φ(a)，φ(b))且称这种φ为非阿基米德赋值(绝对值)，而实数域与复数域的通常绝对值则称为阿基米德赋值。借助于F上的赋值φ，可将分析中的一些概念引入到F中，如柯西序列。设{ai}是F的一个序列。若对任意实数ε＞0，必有自然数n0，使得当m，n≥n0时，恒有φ(am－an)＜ε，则称{an}为(F,φ)的一个φ柯西序列。若对于序列{ai}，有a∈F，使得当n≥n0时恒有φ(an－a)＜ε，则称{ai}是φ收敛的，而a称为它的φ极限。若(F，φ)中每个φ柯西序列都是φ收敛的，则称F关于φ是完全的，或者说(F，φ)是完全域(complete field)。上述赋值中的“非负实数”可推广为有序交换群Г，从而引出赋值环、赋值阶的研究。当Г为无限循环群时，又称为离散赋值。
