天体力学数值方法

天体力学数值方法（ numerical method of celestial mechanics ），应用常微分方程数值解理论求解天体运动方程的方法。它与分析方法、定性方法并列为天体力学的三个基本方法。随着计算机的飞速发展，数值方法得到越来越广泛的应用。

概述

天体力学研究大致分为两类：建立天体历表和研究轨道演化。前者要准确计算天体的位置，要求的精度比较高。后者研究天体轨道的长期演化，计算时间很长，需要保持系统的主要特征（如共振、混沌、守恒量等），但计算精度要求不高。传统的分析方法可用于建立天体的历表，但在精度要求高，轨道偏心率或倾角比较大，或者摄动因素比较复杂时会遇到困难，需要用数值方法求解。由于数学理论发展的限制，轨道演化课题常需要数值方法作为一种重要的辅助手段。数值方法的优点是适用范围广，计算公式简单，可达到很高的精度；缺点是计算速度慢，只能得到所计算的轨道，难于了解问题的全貌。太阳系行星、月球和人造天体的精密历表大都用数值方法建立。在讨论太阳系和恒星系统的起源和演化问题时，数值方法也是一个重要的工具。

建立天体历表常用的数值方法

计算天体历表时最常用和效率最高的方法是经典的科威尔方法，它直接积分以天体坐标为变量的二阶微分方程。当作用在天体上的力与速度有关时，科威尔方法应与亚当斯方法联用。科威尔方法不适用于偏心率比较大或受强摄动的轨道。

龙格–库塔型的方法程序简单，适用范围广，得到大量的应用。费赫伯格于20世纪70年代建立的嵌套算法更为人所熟知。它能自动地在每步计算后估计下一步应采取的步长。直接积分二阶微分方程的龙格–库塔方法称为尼斯特罗姆型方法，在轨道数值积分时效率要高些。

在计算太阳系小天体的历表时可能会遇到两个天体接近碰撞的情况，这时比较适用的方法是BS外推法，它能灵活地变阶和变步长。最好能同时对方程进行正规化变换以消除两体碰撞的奇点。专为大偏心率彗星轨道设计的埃弗哈特方法能达到很高的精度，但计算速度较慢。

研究轨道演化常用的数值方法

冯康和卢斯分别于20世纪80年代提出的辛方法，现在被广泛用于研究天体系统的演化。辛方法能保持哈密顿系统的主要特性辛结构，用大步长进行长时期计算时，能够保持系统的主要特征。自从威斯顿和荷尔曼提出在雅可比坐标系里把哈密顿函数分离成二体和摄动两个可积的部分后，辛方法成为研究太阳系动力学的主要数值方法，并得到了发展。

小恒星系、星团和星系团与太阳系有所不同，各个成员的质量相差不多，没有一个具有太阳在太阳系的统治地位，并且星体之间可能频繁地发生紧密交会。阿塞斯采用低阶泰勒级数展开，把差分、引力势的软化、正规化等技术相结合，编制了一系列的程序，适用于研究从几十到几千个星体组成的系统的演化，得到广泛的采用。

数值方法的主要特性

必须根据课题的具体要求来选择数值方法，因此需要了解每一个数值方法的特性和适用范围。这些特性主要有误差、稳定性、计算速度和能否保持天体系统的动力学特征等。用数值方法进行计算时所产生的误差可分为两类：截断误差和舍入误差。截断误差来自数值方法算得的结果和原微分方程的解之间的差别。截断误差愈小，表明这种方法的精度愈高。舍入误差来自计算过程中因计算机字长的限制产生的数字舍入。两种误差在逐步计算过程中一般都会累积扩大。累积的规律既和数值方法有关，又取决于微分方程的性质。

数值方法的稳定性决定在计算的某一步产生的误差，在以后的逐步计算过程中的传递规律，是始终保持微有增长还是急剧增长，以致淹没了结果的有效数字。稳定性通常与步长有关，步长愈大，稳定性愈差。亚当斯–科威尔之类的多步法要比龙格–库塔等单步法稳定性要差。

显然，截断误差愈小，稳定性愈好的数值方法可采用比较大的时间步长，数值积分耗费的机时就比较少。在采用相同步长的情况下，计算速度主要取决于每积分一步所需计算微分方程右边函数的次数。