幂级数

　　幂级数（power series），一个无穷阶的多项式。又称为泰勒级数。它的一般形式是a₀＋a₁(z－z₀)＋…＋a_n(z－z₀)ⁿ＋…＝a_k(z－z₀)^k，其中系数a_k，z₀及变量z均可取复数值，幂级数的收敛域是一个圆盘，它可能收缩退化为一个点z＝z₀，也可能扩张为整个复平面，当圆盘有界时，则幂级数在此圆盘的闭面之外一定发散，而在圆盘的边界上，幂级数的和函数至少有一个奇点，即这一点任意一个领域都不能成原来的收敛圆盘的解析开拓圆盘。将收敛圆盘的半径称为幂级数的收敛半径。

　　有一种幂级数a_k(z－z₀)^k可能在一个圆的外部：｜z－z₀｜＞r收敛，若同时还有在圆｜z－z₀｜＜R上收敛，且r＜R，则级数就在圆环r＜｜z－z₀｜＜R上收敛，这样的幂级数称为罗朗级数，其中的负幂部分称为它的主要部分，而余下的部分称为解析部分，当一个收敛的罗朗级数的收敛圆环的内圆收缩退化为一个点时，这个点称为罗朗级数和函数(这是一个解析函数)的孤立奇点，若罗朗级数的主要部分为零，则称这一奇点为可去奇点，若主要部分有有限多项，则称该点为和函数的本性奇点，若主要部分因有无限多项，则称其为本性奇点。一种特殊情形在｜z｜＞R收敛于f(z)，则称它为f(z)在∞点的罗朗级数，这时称它的正幂部分为主要部分，而其余的部分为解析部分。同样，当主要部分仅有有限多项时，称∞为该级数和函数的极点，当主要部分有无限多项时，称∞为本性奇点。