形式文法

形式文法，数理语言学用于生成语言的文法。形式文法是数目有限的规则的集合，这些规则可生成语言中的合格句子，并排除语言中的不合格句子。形式文法符号为 G，文法所生成的语言符号为L(G)。

定义

美国语言学家N.乔姆斯基把形式文法 G定义为四个项目的组合： G=(VN，VT，S，P) 其中，VN是非终极符号，不能处于生成过程的终点；VT是终极符号，能处于生成过程的终点；VN与VT不相交，没有公共元素；S是VN中的初始符号；P是重写规则，其一般形式为： φ→ψ 这里，φ和ψ都是符号串。

如果用符号＃来表示符号串中的界限，那么，可以从初始符号串＃S＃开始，应用重写规则＃S＃→＃φ1＃，从＃ S＃构成新的符号串＃φ1＃，再利用重写规则＃φ1＃→＃φ2＃，从＃φ1＃构成新的符号串＃φ2＃，……一直到得出不能再继续重写的符号串＃φn＃为止，这样得出的终极符号串＃φn＃，显然就是语言L(G)中合格的句子。 　　例如，在英语中，有如下的文法：

G=(VN，VT，S，P)

VN={NP，VP，T，N，V}

VT={the，man，boy，ball，saw，hit，took，…}

S=S 　　

P:S →NP⌒VP　①

NP→ T⌒N　　　② 　　

VP→ V⌒NP　　　③ 　　

T →the　　　　④ 　　

N →{man，boy，ball，…}　　⑤ 　　

V→{saw，hit，took，…}　　⑥

这里，初始符号S表示句子，NP表示名词短语，VP表示动词短语，T表示指示词，N表示名词，V表示动词。利用这些重写规则，可以从初始符号S开始，生成英语的句子“The man saw the ball”，“The man took the ball”，“The boy hit the ball”，等等。

“The man saw the ball”的生成过程可写成如下形式，后面注明所用重写规则的号码：

S

NP⌒VP　　① 　　　　　　　

T⌒N⌒VP　　　　　② 　　　　　　　

T⌒N⌒V⌒NP　　　　　　③ 　　　　　

the N⌒V⌒NP 　　　　　　　④ 　　　　　

the man V⌒NP　　　　　　 　⑤ 　　　　　

the man saw NP　　　　　　　⑥ 　　　　　

the man saw T⌒N　　　　　　② 　　　　　

the man saw the N　 　　　　④ 　　　　　

the man saw the ball　　　　⑤ 　　

这样写出来的生成过程，叫做推导史。

分类

乔姆斯基根据重写规则的形式，把形式文法分为4类：

① O型文法：重写规则为φ→ψ，并且要求φ不是空符号串。

②上下文敏感文法:重写规则为φ1Aφ2→φ1ωφ2。在上下文φ1→φ2中，单个的非终极符号 A被重写为符号串ω，所以，这种文法是上下文敏感的。

③上下文自由文法：重写规则为A→ω。当A重写为ω时，没有上下文的限制，所以，这种文法是上下文自由的。

④有限状态文法：重写规则为 A→aQ或A→a。其中，A和Q是非终极符号，a是终极符号，而A→a只不过是A→aQ当 Q为空符号时的一种特殊情况。如果把A和Q看成不同的状态，那么，由重写规则可知，由状态 A转入状态Q时，可生成一个终极终号a，因此，这种文法叫做有限状态文法。

各种形式文法的关系

每一个有限状态文法上下文都是自由的，每一个上下文自由的文法上下文都是敏感的，每一个上下文敏感的文法都是 O型的。乔姆斯基把由O型文法生成的语言叫O型语言，把由上下文敏感文法、上下文自由文法、有限状态文法生成的语言分别叫做上下文敏感语言、上下文自由语言、有限状态语言。有限状态语言包含于上下文自由语言中，上下文自由语言包含于上下文敏感语言中，上下文敏感语言包含于 O型语言中。

形式文法的理论是当代计算机科学的基础理论之一，在算法分析、编译技术、图像识别、人工智能等领域中得到广泛的应用。