恒星球的平衡和稳定

恒星球的平衡和稳定（ equilibrium and stability of stellar sphere ），恒星是一个在自引力作用下的物质球。恒星内部结构理论的基本问题之一，是讨论这种自引力体系的平衡和稳定。影响恒星的平衡和稳定的主要因素有：自引力、内部物质的压力、产能过程、能量转移等。

对于一个无自转、无磁场的恒星球，研究它的内部结构、平衡和稳定性问题的基本方程组如下：

①　质量分布方程 ，

式中Μ是在半径为 r 的球内 的物质质量， ρ为物质密度，Μ 和 ρ都是 r 的函数。

②　流体静力学平衡方程

式中 P为压力， G为万有引力常数。 ③　光度方程

式中 L为在单位时间内通过半径为 r 的球面流出 的能量， ε为产能率，它们也是 r 的函数。

④　温度梯度方程　在辐射传能情况下，方程是

式中 a=7.56× 10_-15尔格/厘米³·度⁴，是辐射常数， c为光速， T为温度，κ为罗斯兰德平均不透明度。在对流传能情况下，方程是：

式中 r为物质 的绝热指数。

⑤　物态方程　求解这组方程的边界条件是：在恒星中心处（即r=0），M=0，L=0；在恒星表面处(即r=R)，T=T₀，ρ=ρ₀，R、T₀和ρ0分别是恒星的半径、表面温度和物质密度。根据这组方程，平衡的恒星球的内部结构完全由它的化学成分和总质量确定。这个结论称为罗素－福格特定理。

对于处于辐射传能情况的星体，如果产能率和不透明度分别有下列形式：

式中 α， n， m， s为某些参数， ε₀ 、κ₀为某些常数（其值可能依赖于 恒星物质 的分子量 μ），则星体的平衡解构成下列的光度-质量-半径关系式：

式中 C为常数， μ为 恒星物质分子量， β为 Pg/( Pg+ P r)， Pg为气体压强， P r为辐射压强。这个结果与观测符合。利用 恒星球 的 平衡解，可以解释 恒星在 赫罗图上 的分布，给出不同质量 恒星在赫罗图上 的演化途径。 　　

在有自转的情况下，恒星球的平衡解依赖于转动特征。在刚性转动情况下，有下列结论：①在两极处要比赤道处亮；②产能率ε与角速度ω的关系为

其中 ε 0表示无自转情况下 的产能率。这两个结论称为蔡佩尔定理。在角速度较大时， 恒星球出现较差自转，这时 恒星内部将出现子午环流，即在每一子午面上将存在着从对流核心出发再回到核心 的缓慢流动。对于太阳，这种环流速度约为3× 10 ^-10厘米/秒。

对于致密星，应当使用广义相对论的流体静力学平衡方程，在球对称情况下，它是： 。

式中 。利用致密物态方程，它 的 平衡解有两大类：一类是简并矮星，一类是 中子星。 　　 恒星球可能有三类不稳定性： 　　

①　动力学不稳定性　当出现小扰动时，扰动随时间增长。对于多层球，当多方指数γ>4/3时，是动力学稳定的；当γ＜4/3时，是动力学不稳定的。一个动力学不稳定的恒星将迅速瓦解，时标为：

对于质量 和半径与太阳相同 的星体，若 γ＜4/3，则 t_D约小于1小时。 　　

②　脉动不稳定性　恒星球对于脉动（即径向的膨胀与收缩）扰动的响应有两种：一种是脉动振幅不变或衰减，则恒星是脉动稳定的；另一种是脉动振幅不断增大，则恒星是脉动不稳定的。对于每一类恒星，产能率随温度变化的指数n存在一个临界指数n_c。当n＜n_c时，恒星是脉动稳定的；当n＞n_c时，出现脉动不稳定性。造父变星可能就是一种脉动不稳定的星体。 　　

③　长期不稳定性　当处在平衡状态时，星体单位时间向外辐射的能量等于其内部产生的能量。如果在辐射平衡中出现小的偏离，则恒星将有微小的收缩或膨胀，其密度和温度将相应地增加或降低，从而使产能率发生变化。如果这种响应能补偿辐射中的扰动，恒星就是长期稳定的，反之，就是长期不稳定的。如果在产能率和不透明度中的系数满足下列不等式：

3α+n＜3+s-3m，

就是长期不稳定的。对于通常的恒星m≈1，s≈0.5，α≈1，n≈4（质子－质子反应）或n≈20（碳氮循环），故它们是长期稳定的。