摄动理论

摄动理论（ perturbation theory ），研究确定摄动的大小和变化规律的理论和方法。一个天体绕另一个天体沿二体问题的轨道运行时，因受到其他天体的吸引或其他因素的影响，天体的运动会偏离原来的轨道。这种偏离的现象称为摄动。对于摄动，在数学上可以通过分析方法和数值方法两种不同途径来研究。这两种方法相应地在摄动理论中形成了普遍摄动和特殊摄动两个分支。摄动理论不仅是研究天体运动的主要手段，而且在理论物理与工程技术上也被广泛应用，即所谓微扰理论。

摄动理论的发展，至今已有二百多年的历史。欧拉、拉格朗日、高斯、泊松和拉普拉斯等许多著名的学者都为它的发展作过不少贡献，先后提出过的摄动方法不下百种。归纳起来，大致可分三类：坐标摄动法、瞬时椭圆法和正则变换。有些方法不能明确地列入哪一类，例如著名的汉森方法就兼有一、二两类的特性。

坐标摄动法

研究天体在真实轨道上的坐标和在中间轨道上的坐标之差，这个差值称为坐标摄动。在经典方法中，常把坐标摄动表示为某个小参量（例如摄动行星的质量）的幂级数，然后逐项进行计算。由于计算技术的发展，微分方程近似解法中皮卡迭代法正逐步代替原来的小参量幂级数展开方法。它的主要优点是有统一的迭代过程，使计算过程能高度自动化。按所取坐标系的不同，坐标摄动又分为下述几种方法。

直角坐标摄动

这是1858年恩克在研究彗星的运动时提出的，它讨论坐标摄动在直角坐标系中的表示式，经常用于计算短周期彗星和月球火箭的轨道。这种方法的优点是：摄动方程的推导简单，形式对称，可以直接得到坐标，便于计算天体的历表。它的缺点是：以直角坐标表示的摄动量难于显示出摄动的几何特性和力学含义；随着时间跨度的增长，直接坐标的三个摄动量往往同时变大，以致不能把它们所服从的方程作线性化处理，否则就要多次更换零点。

球坐标摄动

自然天体一般总是围绕着某个主天体运动，例如行星绕着太阳运动，卫星绕着行星运动。因此，球坐标或极坐标的摄动就有较明显的几何意义。克莱洛和拉普拉斯在研究彗星的运动和大行星运动理论时最早提出了球坐标摄动方法。后来，纽康对拉普拉斯方法作了改进，特别是在展开摄动函数时运用了算符运算，使展开过程不仅有简洁的数学表示式，而且有规则的处理过程，便于以后在电子计算机上进行计算。纽康成功地运用这个方法研究了水星、金星、地球、火星四颗内行星以及天王星、海王星的运动，据此编成的内行星的历表，一直是二十世纪以来编算天文年历的基础。希尔提出了一种以真近点角为引数的球坐标摄动法，它曾被成功地用于计算第一号小行星──谷神星的摄动。

其他坐标摄动

1963年穆森提出了另一种计算坐标摄动的方法，用于计算天体坐标在向径、速度和角动量三个方向上的摄动量。尽管这样的分解不正交，但由于它有不少优点，如有较明显的力学意义，推导方便，积分直接、运用算符运算、各阶摄动方程具有统一而紧凑的形式，并便于计算自动化，现正用于建立新的大行星运动理论。

在各种坐标摄动的研究中，几乎都以椭圆作为中间轨道。希尔在研究月球运动理论时用了所谓二均轨道作为中间轨道，这是一种计及太阳摄动主要部分的周期轨道，它避开了月球在近地点时进动快所带来的困难。吉尔当曾提出用转动椭圆作为中间轨道，以便消除坐标摄动中的长期项，并将摄动表示为真近点角的三角级数。他的理论曾一度引起人们普遍关心，但后来的研究证明，这种方法是不收敛的。

瞬时椭圆法

这是以轨道要素作为基本变量的摄动方法。如果行星只受太阳的吸引，正如开普勒定律所描述的，它将沿着一个固定的椭圆运动，决定椭圆运动的六个轨道要素应是常数。若考虑到其他因素的影响，行星将偏离原来的椭圆，六个轨道要素就不再是常数，它们将遵循由常数变易法导出的规律而变化。在这种情况下，可得到一族椭圆，它们逐个地与真实轨道相切，在相切点，二者不仅有相同的坐标，而且有相同的速度；只是加速度彼此不同，一个是真实加速度，另一个是椭圆加速度，二者之差正是摄动力引起的摄动加速度。由于这种摄动加速度的作用，天体在下一时刻将离开这个椭圆，走上邻近的一个瞬时椭圆；相反，一旦摄动作用消失，天体将沿着消失点的瞬时椭圆一直运动下去。天体在太阳辐射压摄动下的运动正是这样：当辐射压起作用时，天体的瞬时椭圆不断变化；但当天体进入一个阳光照不到的阴影区时，辐射压消失，天体就沿着入影点的瞬时椭圆运动下去，直到跑出这个影子为止。

天体的真实轨道就是瞬时椭圆族的包络线。与坐标摄动相比，椭圆轨道要素的变化一般要缓慢得多，因而便于处理。瞬时椭圆法最早是欧拉在十八世纪中叶研究木星与土星的相互摄动时提出的，后由拉格朗日加以改进。他根据常数变易法，利用拉格朗日括号，严格地导出了描述椭圆轨道要素变化的摄动方程──拉格朗日方程。这种方法的应用十分广泛，特别是被勒威耶成功地用来研究大行星的运动。

正则变换

这是一种以分析力学为基础的方法。其基本思想是：对变量进行一系列适当的正则变换，以求降低运动方程的阶次，使新的方程具有较简单的形式，例如得出一个描述等速直线运动或简谐振动的方程，从而使问题得解。十九世纪，德洛内从这个观点出发建立了著名的德洛内月球运动理论。他首先将月球的摄动函数展开成四百多个三角项，然后进行一系列的正则变换，使每次变换都能消去其中的一项。他花了差不多二十年的时间，总共进行了上千次变换，找到了三个合适的角速度，将月球的轨道要素都表示成时间的三角多项式，而不包含任何长期项。德洛内的工作为天体力学中的变换理论奠定了基础。这种方法是由一系列形式统一的循环过程组成的，因此非常便于用电子计算机进行计算。

德洛内之所以要进行那样多的变换，是为了对摄动函数中的每一项都给以严格的数学处理。这在实用上是没有必要的，某些高阶项尽可以略去。以这种想法为指导，蔡佩尔在二十世纪初建立了蔡佩尔变换。他先把摄动函数中的角变量按它们变化快慢排队，然后在一定精度范围内寻找适当的变换，以便一次消去所有含快变量的项，得出一组平均化的方程，进而对新的方程重复类似的过程，直至消去全部角变量为止。与德洛内方法相比，这种方法的工作量小得多，因此，它一出现就被成功地用来研究小行星的运动。人造卫星上天后，它得到了更广泛的应用。但是，蔡佩尔变换也有一些缺点，其中最突出的是：决定新旧变量转换关系的母函数是混合型的，同时含有新旧两种变量，使用颇为不便。为了克服这一缺点，堀源一郎在二十世纪六十年代提出了一种以李变换为基础的理论──堀源-李变换。其优点是:不仅新旧变量之间的变换具有显函数的形式，同时其结果在正则变换之下保持不变，因此它与用哪一组正则变量进行计算无关，而具有通用性。

电子计算机的创制和发展不仅大大提高数值计算的精度和速度，而且代替人们完成大量机械的重复的推导，今天已广泛用于摄动理论研究。近年来，德普里特、亨拉德、罗姆利用电子计算机编制了一个分析月球历表。单就计算太阳主要摄动项而言，摄动函数就有近3，000项，并通过李变换，得到了近50，000项月球坐标表示式。其规模之大，远非德洛内理论所能相比。

影响天体运动的摄动因素多种多样：有万有引力引起的保守力，有介质阻尼引起的耗散力，有连续作用的力，也有诸如辐射压引起的间断力等。影响大行星运动的主要摄动因素是行星间的相互吸引；地球大气的阻尼使卫星陨落于地面；太阳辐射压决定着彗尾的形状；潮汐摩擦则是卫星轨道演化的主要动力。只有准确地掌握了各种摄动因素，才能准确无误地计算天体的运动，解释各种壮丽的天象。反之，通过精密的观测和准确掌握天体的运动规律，就可以根据摄动理论的分析，弄清天体周围的力学环境，如测定摄动天体的质量、主天体的力学扁率和弹性模量、大气密度和各种引力场参数等等，甚至还能预告一些未知天体的存在与行迹。因此，摄动理论不仅有丰富的理论内容，也有较高的实用价值。