摹状词

摹状词（description），由冠词和普遍名词及其限制语构成的表示某单个事物的词组。冠词有不定冠词和定冠词两种，它们在汉语中可分别有用“一（个）”和“那（个）”来表示。而摹状词也有不定摹状词和定摹状词之分。前者如“我遇见一个熟人”中的“一个熟人”，后者如“13和19之间的那个素数”。摹状词作为逻辑术语通常专指定摹状词。这是一种指称唯一的一个具有某特定性质的事物的词项，它可在带等词的谓词逻辑中表示和处理，构成摹状词理论。最早发展摹状词逻辑理论的是G.弗雷格、G.皮亚诺和B.A.W.罗素。

在谓词逻辑中，定摹状词“那个有性质F的个体”通常记作愬xFx，其中的愬 是表示定冠词的逻辑符号；愬α通称摹状算子，其中的α是任一个体变元。愬可以作为初始符号引入，也可以通过定义引入。由于“唯一的一个”就等于“至少一个并且至多一个”，因此含有摹状词的命题“那个有性质F的个体有性质G”，或者简单地说“那个F是G”，记作G愬xFx，可以分析为：“至少有一个个体有性质F，并且至多有一个个体有性质F，而此个体有性质G”。例如，“13和19之间的那个素数是17”当且仅当下面3个命题都真时才是真的:①“至少有一个素数在13和19之间”，②“至多有一个素数在13和19之间”，③“此素数是17”。因此，可以在带等词的谓词逻辑中通过使用定义（definition in use）引入摹状词，把G愬xFx定义为

ヨｘ[Fx∧∀ｙ(Fｙ →ｘ =ｙ)∧Gx] 或　

∀ｘ∀ｙ[(Fx∧Fｙ)→ｘ =ｙ]∧ヨｘ(Fx∧Gx) 或

ヨｙ[∀ｘ(Fx↔ｘ =ｙ)∧Gｙ]

根据对摹状词的理解，含有摹状词的命题“那个F不是G”不等于“那个F是G”的否定，即不等于“并非那个F是G”。因为根据定义，前者是

ヨｘ[Fx∧∀ｙ(Fｙ) →ｘ =ｙ)∧¬Gx] 而后者是 　

¬ヨｘ[Fx∧∀ｙ(Fｙ →ｘ =ｙ)∧Gx]

它们的区别在于：只有在恰好存在一个是F的个体并且它不是G时，前者才是真的；而后者则既在这种情况下是真的，又在并非恰好存在一个是F的个体时，亦即或者根本没有个体是F或者不止一个个体是F时，也是真的。因此，前者蕴涵后者，但后者不蕴涵前者，二者不是等值的。例如，由于根本不存在最大的自然数，因此“那个最大的自然数不是奇数”是假的，而“并非那个最大的自然数是奇数”却是真的。这样就一般地产生摹状词的辖域问题，并需要采取能表示出摹状词的辖域的记法。按照一种通行的做法，“那个最大的自然数不是奇数”和“并非那个最大的自然数是奇数”这个两命题被分别记为(愬xFx)¬G愬xFx和¬(愬xFx)G愬xFx，在前一公式中摹状词[愬xFx]的辖域是 ¬G愬xFx，在后一公式中摹状词的辖域是G愬xFx。一般地说，令A(α)表示公式A中含有自由的α，那么，一公式B中某摹状词愬αA(α)的辖域是B中紧接相应的愬αA(α)之后的那个子公式。这种对摹状词的理解和处理方法是罗素和A.N.怀特海在他们的《数学原理》第1卷中所采取的方法。其实质是，如果一摹状词事实上不具有唯一性，则含有此摹状词的命题被认为是假的。对摹状词的理解和处理方法不止一种，D.希尔伯特和P.贝奈斯（1888～1977）采用了另一种处理方法，即认为如果一摹状词不具有唯一性，则含有它的命题是不合式的，也不成其为一个命题。贝奈斯和W.V.O.奎因等人还采用过别的处理方法。例如，当一摹状词不具有唯一性时，它就被视为指称论域中某一随时确定的或事先规定的个体。