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'''李代数'''(Lie algebra),一类重要的非结合[[代数]]。最初由[[挪威]]数学家[[M.S.李]]在19世纪创立[[李群]]时引进李代数的概念,经[[W.K.J.基灵]]、[[É.嘉当]]与[[H.外尔]]等人的努力,20世纪初,其基本理论得以完善。无论从理论的完整性,还是从应用的广泛性来说,李代数都已成为一个重要的[[数学]]分支,它的理论与方法已渗透到数学及[[理论物理]]的一些领域。 称集合g为域F上的一个李代数,是指:①g是F上的一个向量空间;②g上有一个二元运算(称为换位运算);③对任意的a,b∈F与X,Y,Z∈g,换位运算满足三个条件:[aX+bY,Z]=a[X,Z]+b[Y,Z],[X,aY+bZ]=a[X,Y]+b[X,Z](双线性性);[X,X]=0;[[X,Y],Z]+[[Y,Z],X]+[[Z,X],Y]=0(雅可比恒等式)。李代数g作为F上向量空间的维数称为李代数g的维。按此维数,李代数分为有限维李代数与无限维李代数两大类。③中前二条件蕴含着[X,Y]=−[Y,X]对g中任意的X,Y成立,因此李代数一般地(除一维李代数外)都不是交换代数。但规定[X,Y]=0恒成立所得的李代数是交换的,称为交换(阿贝尔)李代数。 实三维空间'''R'''<sup>3</sup>={X=(x<sub>1</sub>,x<sub>2</sub>,x<sub>3</sub>)|xj∈'''R''', j=1,2,3}以向量叉积作换位运算,即[X,Y]=X×Y=(x<sub>2</sub>y<sub>3</sub>-x<sub>3</sub>y<sub>2</sub>,x<sub>3</sub>y<sub>1</sub>-x<sub>1</sub>y<sub>3</sub>,x<sub>1</sub>y<sub>2</sub>-x<sub>2</sub>y<sub>1</sub>),式中Y=(y<sub>1</sub>,y<sub>2</sub>,y<sub>3</sub>),是'''R'''上的一个三维李代数。在域F上向量空间V的全体线性变换集L(V)中,定义[f,g]=fg-gf,则L(V)成一李代数,记为gl(V)。F上全体n×n矩阵所成的向量空间Fn×n在运算['''A''','''B''']='''AB'''-'''BA'''下也是李代数,记为gl(n,F),其四类子代数A<sub>n</sub>,B<sub>n</sub>,C<sub>n</sub>,D<sub>n</sub>称为典型李代数或线性李代数。 李代数在李群理论中有重要应用且二者有密切的联系,它们与其他学科的联系也很广泛。 ===参见=== *[[数学]] *[[数学基本条目]] *[[代数学]] [[Category:数学]] [[Category:数学史]] [[Category:代数学]] [[Category:李代数]] [[Category:中文词典]] [[Category:L音词语]] [[Category:李]]
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