空间曲率

空间曲率（ curvature of space ），表征某种给定度规的空间对于欧氏空间的偏离程度的量。举例说，球面是一种二维的弯曲空间，球面上弧元的平方是：

式中 U、 φ为球面上的点在过球心的平面上投影的坐标； R是球的半径；I/R 是这个 空间的 曲率。对于一般的二维曲面上的各个点，能借两个单参数曲线族（ μ=常数， v=常数）所定义的坐标 μ和 v来表示。在其上弧元的平方是： ds²=g₁₁dμ²+2g₁₂dμdv+g₂₂dv²， 式中g₁₁、g₁₂、g₂₂为坐标μ、v的函数。它反映着空间的度量性质。过这种曲面上的每一点作切面，在切面上存在两个互相垂直的方向。在这两个方向上曲率1/R，分别达到极大值和极小值1/R₁和1/R₂。量称为高斯曲率。

黎曼研究了更一般的弯曲空间。在满足一定条件的集合中给定一个二阶协变张量场；对于局部坐标x1，…，xn，这个张量场可以写为gij(x1，…，xn)，它是对称的，并且是非退化的。这样的集合称为黎曼空间。gij称为黎曼空间的度规张量。在这种空间中的弧元平方定义为ds2=gij(x1，…，xn)dxidxj。上指标与下指标相同，代表这个指标分别取空间中各维来求和。这种空间的弯曲性质用黎曼曲率张量表示为：

式中

被称作联络。由 R ^λμvx经过一次升标和缩并运算，可以得到另外两个表征 空间弯曲的量，即里齐张量 R^μv 和标量 曲率 R。由某点上两个线性独立的方向 ξ媰，ξ媱决定的标量：

叫作黎曼空间在该点的黎曼曲率。