统计决策理论

　　统计决策理论（汉语拼音：Tongji Juece Lilun；英语：Statistical Decision Theory），美国统计学家A.瓦尔德在20世纪40年代提出的一种数理统计学的理论。这种理论把数理统计问题看成人与大自然（或客观世界）之间的博弈。在此之前，数理统计主要着眼于从观察数据出发，对相应的总体作出合理的判断。瓦尔德的理论则认为判断过程中隐藏着两个重要概念：决策（或行动）和相应的后果。瓦尔德的理论把这两个概念正式纳入了数理统计学的研究范围，是数理统计学中的一项重要创新，推动了数理统计学的发展。

统计决策三要素

　　主要有：

　　1.样本空间与样本分布族。这个要素是数理统计学中的统计模型。样本分布或刻画样本分布的参数代表大自然在博弈中所选定的值，这是大自然掌握的秘密。这个秘密又通过随机的样本泄露出来。

　　2.行动空间和统计决策函数。行动空间是指统计工作者可采取的行动的集合，而统计决策函数是统计工作者根据观察值确定行动的规则。因此统计决策函数是统计工作者与大自然博弈中所采用的策略。

　　3.损失函数。这是统计工作者在博弈中采取行动所造成后果的数量刻画。损失是依赖于两个变元的函数：一是统计工作者所采取的行动，二是大自然在博弈中选定的分布或参数值。

选择决策函数的准则

　　作为统计工作者的行动准则，统计决策函数是相应的统计问题的解。为选择具有优良性能的统计决策函数，需要建立反映统计决策函数优劣的指标（或判据）。风险函数就是这样的指标，它定义为大自然选定参数值以后，采用统计决策函数所造成的平均损失，也就是采用统计决策函数所造成的平均后果。显然，统计决策函数的风险函数愈小，统计决策函数就愈好。下面引入几个具体的准则。

　　1.容许性准则。设δ是一个统计决策函数。若存在另一个统计决策函数δ*，其风险函数全面地优于δ的风险函数，则δ应该排除在被选择范围之外。δ称为不可容许的，否则δ就称为可容许的。

　　2.最小化最大准则。统计决策函数的风险函数依赖于大自然采用的参数值。通常，一致最优的决策函数是不存在的。退而求其次，求出统计决策函数的最大风险，即大自然采用各种参数值时，统计工作者遭受风险的最大值。这个最大值是刻画统计判决函数优劣的整体性指标。使这个最大风险达到最小的统计判决函数就是最小化最大决策函数。

　　3.贝叶斯准则。贝叶斯学派的观点认为大自然在博弈中随机地选定分布参数的值。此时采用统计判决函数所遭受的风险也是随机的。这个随机风险的平均值就是平均风险。使平均风险达到最小的统计决策函数就是贝叶斯决策函数。

　　4.最优同变性准则。在统计问题中，数据的坐标变换会导致参数的变换，由问题的不变性和参数的变换，要求统计决策函数满足相应的约束条件，这种对决策函数的限制称为同变性。在同变统计决策函数类中具有一致最小风险的决策函数被称为最优同变决策函数。

　　5.最优无偏性准则。这是对决策函数的另一种类型的限制。在无偏决策类中具有一致最优风险函数的统计决策函数称为最优无偏统计决策函数。

　　选定了优良性标准之后，如何寻找统计决策函数就化为数学上的一个最优化问题。统计决策理论把统计问题置于一个模式下进行统一处理。它把行动的效果进行数量化，使统计问题的提法更加多样化，并开拓了某些新的研究领域，例如关于容许性和最小化最大准则的研究。因此瓦尔德的理论的提出成为20世纪统计学历史上的重大事件。但统计学家对这个问题的看法并不完全一致。统计判决理论中的许多结论依赖于损失函数的形式，而英国统计学家M.肯德尔认为“损失函数数量化”并非在任何情况下都合理可行。

　　　　描述统计学

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