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'''群论''',在[[数学]]和[[抽象代数]]中,研究名为[[群]]的[[代数结构]]。 [[群]]在抽象代数中具有基本的重要地位:许多代数结构,包括环、[[体 (数学)|域]]和[[向量空间]]等可以看作是在群的基础上添加新的[[运算]]和[[公理]]而形成的。群的概念在数学的许多分支都有出现,而且群论的研究方法也对抽象代数的其它分支有重要影响。[[线性代数群]](linear algebraic groups)和[[李群]]作为群论的分支,在经历了重大的发展之后,已经形成相对独立的研究领域。 群论的重要性还体现在[[物理学]]和[[化学]]的研究中,因为许多不同的物理结构,如[[晶体]]结构和[[氢原子]]结构可以用群论方法来进行建模。于是群论和相关的[[群表示论]]在物理学和化学中有大量的应用。 群论中的重要结果,[[有限单群分类]]是20世纪数学最重要的结果之一。该定理的证明是集体努力的结果,它的证明出现在1960年和1980年之间出版的超过10,000页的期刊上。 === 历史 === 群论在历史上主要有三个来源:[[数论]],[[代数方程]]理论和[[几何学]]。数论中出现的对群的研究始于[[莱昂哈德·欧拉]],之后由[[卡尔·弗里德里希·高斯]]在对[[模算术]]和与[[二次域]]相关的乘法和加法的研究中进行了发展。群论的概念在[[代数数论]]中首先被隐含地使用,后来才显式地运用它们。 关于[[置换群]]的早期结果出现在[[约瑟夫·拉格朗日]]、保罗·鲁非尼(Paolo Ruffini)和[[尼尔斯·阿贝尔]]等人关于高次方程一般解的工作中。1830年,[[埃瓦里斯特·伽罗瓦]]第一个用群的观点来确定[[多项式方程]]的可解性。伽罗瓦首次使用了术语“群”,并在新生的群的理论与[[域论]]之间建立起了联系。这套理论现在被称为[[伽罗瓦理论]]。[[阿瑟·凯莱]]和[[奥古斯丁·路易·柯西]]进一步发展了这些研究,创立了[[置换群]]理论。 群论的第三个主要历史渊源来自几何。群论在[[射影几何]]中首次显示出它的重要性,并在之后的[[非欧几何]]中起到了作用。[[菲利克斯·克莱因]]用群论的观点,在不同的几何学(如[[欧几里德几何]]、[[双曲几何]]、[[射影几何]])之间建立了联系,即[[爱尔兰根纲领]]。1884年,[[索菲斯·李]]开始研究[[数学分析|分析学]]问题中出现的群(现在称为[[李群]])。 属于不同领域的来源导致了群的不同记法。群的理论从约1880年起开始统一。在那之后,群论的影响一直在扩大,在20世纪早期促进了[[抽象代数]]、[[表示论]]和其他许多有影响力的子领域的建立。[[有限单群分类|有限单群分类]]是20世纪中叶一项规模庞大的工作,对一切的[[有限集合|有限]][[单群]]进行了分类。 === 群的主要类型 === 群论考虑的群的类型从有限置换群和一些特殊的[[矩阵群]]逐渐进展到抽象群。这些抽象群可以由[[群的生成集合|生成元]]和[[关系 (数学)|关系]]给定。 ==== 置换群 ==== '''置换群'''是第一类被系统研究的群。对给定的集合''X'',''X''到自身的一些[[双射]](通常叫做''置换'')的集合''G''如果在[[映射的复合|复合运算]]和[[逆映射|求逆运算]]下封闭,那么称''G''是一个[[群作用|作用]]于''X''上的群。如果''X''包含''n''个元素而''G''包含所有可能的置换,那么''G''被称为对称群 ''Sn''。一般地,任何置换群都是''X''的对称群的子群。凯莱定理表明,通过构造左正规表示,任何一个群都可以视作自身上的一个变换群。 ==== 矩阵群 ==== 例子:[[李群]] ==== 变换群 ==== 如果集合''A''的所有一一变换作成群,则称为''A''的一一变换群或对称群。 设''G''是一个非空集合,''G''的元素间定义一种运算“∘”。如果''G''满足以下的条件: 1.(运算封闭性)对于''G''中的任意两个元素''a、b'',恒有''a'' ∘ ''b'' ∈ ''G''; 2.(结合律)对于''G''中的任意三个元素''a、b、c'',恒有''( a ∘ b ) ∘ c = a ∘ ( b ∘ c )''; 3.(单位元)存在单位元''e ∈ G'',使得对于''G''中的任意元素''a'',都有''e ∘ a = a''; 4.(逆元)对于''G''中的任意元素''a'',存在''a''的逆元''b ∈ G'',使得''b ∘ a = e''。 则称''G''关于运算“∘”作为一个群。简称''G''是一个群。 设''A''是一个非空集合,''A''的若干个一一变换对于变换的乘法所作成的群称为''A''的一个变换群。 ==== 抽象群 ==== 一个集''G'',如果它不是空集,而且满足以下四个条件,就叫做群: ①''G''中有一个闭合的结合法。这就是说,''G''中任意两元''a,b''的结合''c''仍然是''G''中元。结合法通常写成乘法,这时''c''又叫做''a,b''的积。一般用记号''ab=c''或''a·b=c''表示。要注意,积''ab''虽然是由''a,b''唯一决定的,但一般它还与''a,b''的顺序有关。即''ab''不一定等于''ba''。 ②''G''的结合法满足结合律。也就是说,对于''G''中任意三元''a、b、c'',有''(ab)c=a(bc)''。 ③''G''中有一个(左)单位元''e'',对''G''中任意元''a'',有''ea=a''。事实上由于可以证明群的左单位元也是右单位元,因而一般把''e''就叫做单位元。 ④对于''G''中任意元''a'',在''G''中有一个满足''a''<sup>-1</sup>''a=e''的(左逆元)''a''<sup>-1</sup>,此处''e''就是上面的(左)单位元。实际上,可以证明,在群中,''a''的左逆元也是右逆元。因此,一般把''a''<sup>-1</sup>就叫''a''的逆元。 ==== 拓扑群/代数群 ==== 设''G''是拓扑空间,又是一个群,而且群的乘积运算与求逆按此拓扑是连续的,即从拓扑空间''G×G''到拓扑空间''G''上的映射''m:(x,y)→x·y''及从''G''到''G''上的映射''f:x→x''都是连续映射,则称''G''为拓扑群。如果G作为拓扑空间是局部紧(或紧、连通、单连通)的,则称G为局部紧(或紧、连通、单连通)拓扑群。例如, ''n''维欧氏空间中所有向量所成的加群,再加上通常的拓扑,就是一个交换拓扑群;实数域R上所有n阶非奇异方阵所成的乘法群''GL(n,R)'',再加上通常的拓扑,是一个局部紧拓扑群;而所有行列式为1的正交矩阵所成的群''SO(n,R)''是一个紧连通拓扑群。 从拓扑群''G''到拓扑群H内的映射''f:G→H'',如果作为群结构它是群同态,作为拓扑空间的映射它是连续的,那么''f''称为从拓扑群''G''到拓扑群H的同态,简称同态。如果同态f是双射, 而且逆映射''f''也是连续的,那么f称为拓扑群''G''到拓扑群H上的同构映射,简称“同构”。拓扑群全体带上拓扑群间的同态,构成一个范畴。这个范畴就是拓扑群论研究的对象。 在数学中,拓扑群概念最初是由连续变换群的研究所引起,人们发现在处理许多连续变换群的问题中所出现的群,往往不必考虑作变换群,而只需研究这些群本身,于是产生了连续群的概念。M.S.李是最初对连续群进行系统研究而卓有成就的人。李群就是因他得名。 === 群论的运用 === 群论在数学上被广泛地运用,通常以[[自同构群]]的形式体现某些结构的内部对称性。结构的内部对称性常常和一种不变式性质同时存在。如果在一类操作中存在不变式,那这些操作转换的组合和不变式统称为一个对称群。 [[阿贝尔群]]概括了另外几种抽象集合研究的结构,例如[[环]]、[[域 (数学)|域]]、[[模]]。 在[[代数拓扑]]中,群用于描述拓扑空间转换中不变的性质,例如基本群和透射群。 [[李群]]的概念在[[微分方程]]和[[流形]]中都有很重要的角色,因其结合了群论和[[分析数学]],[[李群]]能很好的描述分析数学结构中的对称性。对这类群的分析又叫[[调和分析]]。 在[[组合数学]]中,[[交换群]]和[[群作用]]常用来简化在某些集合内的元素的计算。 后来群论广泛应用于各个科学领域。凡是有对称性出现的地方,就会有它的影子,例如物理学的[[超弦理论]]。 ===参见=== *[[数学]] *[[数学基本条目]] *[[代数学]] [[Category:数学]] [[Category:数学史]] [[Category:代数学]] [[Category:群论|*]] [[Category:中文词典]] [[Category:Q音词语]] [[Category:群]]
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