非欧几里得几何

非欧几里得几何（non-euelidean geometry），指古希腊数学家欧几里得所建立的几何系统中的第五公设换成其否定命题所构成的新几何系统。简称非欧几何。它有两种形式：如果用“过直线外一点至少可以引两条直线平行于已知直线”这个命题代替第五公设，那末就得到罗巴切夫斯基几何，又称双曲几何；如果用“过直线外一点不存在平行于已知直线的直线”这个命题代替第五公设，那末就得到黎曼几何，又称椭圆几何。欧几里得几何的第五公设是:若一直线与两直线相交，且同侧所交的两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点。这个公设不象其他公设那样简明，欧几里得本人也只是在证完第28个命题以后才应用它。

建立

2000多年来，数学家们试图从两个方面消除第五公设，即用更加自明的公理代替它，或者把它作为一个定理，而从其他9个公理或公设中推导出来。在寻找代替公设方面，1795年，J.普莱费尔给出了一个过直线外一点有而且只有一条直线平行于已知直线的命题。这个命题在数学史上常用来代替第五公设，并被称为平行公理。在证明第五公设方面，直到19世纪初，许多数学家的努力并没有达到预期的目的。但是，他们所做的工作却为非欧几何的创立作了准备。在建立非欧几何的先驱者当中有G.萨开利、J.兰伯特、F.K.施魏卡特和F.A.托里努斯等人。他们最终达到了这样一些认识：平行公理是独立的；可能存在与平行公理相矛盾的、逻辑上相容的新几何学；虚半径球面上的几何具有以锐角假设为基础的几何性质。但是，他们都没有否认欧几里得几何是描述物质空间的唯一的几何学这一传统观点。

19世纪初，K.F.高斯、Н.И.罗巴切夫斯基、J.鲍耶3人在前人研究的基础上，几乎同时创立非欧几何。高斯于1816年左右获得这一成果，但他在生前未发表。鲍耶所写的《绝对空间的科学》一文作为他父亲著的《为好学青年的数学原理论著》一书的附录，于1832～1833年发表。罗巴切夫斯基则于1826年2月23日在俄国喀山大学物理数学系的会议上宣读他关于平行线的论文，并于1829年在《喀山通报》杂志上发表《几何学原理》一文。这是数学史上第一篇公开发表的关于非欧几何的文献。罗巴切夫斯基毕生致力于捍卫和发展新理论的工作，直至双目失明还口授著述《泛几何学》一书。为了纪念罗巴切夫斯基对发展几何学所做出的贡献，人们常把这种新几何学叫做罗巴切夫斯基几何学。1854年，G.F.B.黎曼又建立了另一种形式的非欧几何，即黎曼几何。

非欧几何创立后的一段时间内，由于没有找到实际应用，而被称为“虚拟的”几何学。它只是到了1868年，由于E.贝特拉米在欧几里得几何中找到非欧几何的模型，才使“虚拟”变成现实。后来，F.克莱因和J.H.彭加勒又找到另外一些解释。最后，非欧几何成了相对论的重要数学工具。

意义

非欧几何的建立具有重要意义。在数学方面，它开辟了研究数学发展本身所提出的问题的方向，从此在数学中逐渐形成应用数学与纯粹数学两大领域。它推动了纯粹数学的重要部分──数学基础的研究。在数学史上，非欧几何的无矛盾性被归结为欧几里得几何的无矛盾性。但是，这种无矛盾性毕竟只是一种相对的无矛盾性，它并不能保证非欧几何继续推导下去不会出现矛盾。因此，数学家们又通过解析几何、实数理论，把问题归结为研究集合论的无矛盾性。这就从一个方面推动了数学基础的研究。在哲学方面，非欧几何的创立改变了人们对数学性质以及数学与物质世界关系的看法。19世纪以前，人们普遍认为，欧几里得几何学是描述物理空间的唯一的几何学，以I.康德为代表的唯心主义哲学家进而声称，欧几里得几何学是先验的综合。然而，多种几何系统的存在说明，几何系统的真理性只具有相对的意义，它只有在一定的解释下才有真假可言。同时，多种几何系统的发现反映了物质空间的多样性，说明空间的几何性质依赖于空间的物理性质。因此，欧几里得几何并不是客观世界要与之相适应的先验综合。欧几里得几何和非欧几何这两种几何系统在逻辑上是相容的，而且都是真实地描述客观世界，但它们在直观上却是互相矛盾的。这一事实说明了感性直观的局限性，它使人们认识到自明性并不是数学真理性的标准。