非线性方程数值解法

图1

图2

　　非线性方程数值解法（汉语拼音：Fei xian xing fan cheng shu zhi jie fa；英语：numerical method of nonlinear equation），当f（x）是超越函数或高次多项式时，f（x）＝0称为非线性方程，此类方程除少数情形外，只能求近似解。求解非线性方程的主要方法是迭代法。使用这一方法一般至少要知道根的一个近似值x0，然后将原方程f（x）＝0改变成与它同解但便于迭代的形式x＝j（x），利用迭代公式xk+1＝j（xk），k＝0，1，2，……就能求出一系列逐步精确的近似值。例如常用的迭代法有：①牛顿迭代公式：（见图1）k＝0，1，2，……式中x0为初始近似值。②割线迭代公式：（见图2）k＝0，1，2，……式中x0，x1为两个初始近似值。

　　此外还有二次插值法、切比雪夫迭代法及艾特肯加速法等。评价一个迭代公式的优劣，除去收敛条件之外，主要是看它的效能指标，即达到规定的精确度所花费的代价。因此如何构造收敛的迭代公式，分析公式的收敛速度和收敛条件，以及加快收敛的技术，这些都是迭代法研究的课题。牛顿迭代具有较高的收敛速度和简单灵活等优点，而且可以推广到求解非线性方程组，拟牛顿法就是具有较高效能指标的求解非线性方程组的通行方法。