黎曼假设是否已被解决？
徐斌 西北大学数学学院
近日，网传华人数学家张益唐在一场活动上透露，自己已解决朗道-西格尔零点问题，论文预印本即将上线并投稿；朗道-西格尔零点问题是解决黎曼假设（Riemann hypothesis）的关键。这一消息震动了数学界，并获得了知情人士的证实：“他是一个严肃的数学家，大家都会选择相信他的话。”让我们拭目以待！
那么，什么是黎曼假设呢？黎曼假设是当今数学界最重要的猜想之一。它是由德国数学家波恩哈德•黎曼(Bernhard Riemann)在1859年提交的关于素数分布的经典文章《论小于某给定值的素数的个数》中提出的；这篇文章主要研究了黎曼ζ函数，给出了ζ函数的积分表示与它满足的函数方程，并指出素数的分布与黎曼ζ函数之间存在深刻联系。这一关联的核心就是J(x)的积分表达式，这也是该文一大成果。
黎曼假设是德国数学大师大卫•希尔伯特(David Hilbert)在1900年举行的第二届国际数学家大会上提出的二十三个问题的第八个问题；美国克雷数学研究所(CMI)在2000年把它列为千禧年七大难题之一。黎曼假设要求解决的是黎曼Ζeta函数ζ(s)的非平凡零点都位于复平面Re(s)=1/2直线上。数学家们把这条直线称为临界线。运用这一术语，黎曼假设可以表述为：黎曼ζ(s)函数的所有非平凡零点都位于临界线上。
由于黎曼假设的知名度和重要性都很高，近年有不少数学家声称已证明这一猜想。例如，尼日利亚数学家奥佩耶米•伊诺克(Opeyemi Enoch)在2015年公开宣称已成功证明了黎曼假设；又如，英国数学家迈克尔•阿蒂亚(Michael Atiyah)在2018年声称已成功证明了这一猜想；再如，中国数学家李忠同时也声称已成功证明了它。但是，数学界对此事的反应却相当冷淡；主要原因是黎曼假设已有160多年的历史，其破解实在太难了。
作为黎曼假设的一种特殊并且可能比其弱得多的形式，朗道-西格尔零点问题对于推动黎曼假设的破解有极大的意义，与张益唐此前的孪生素数猜想探究具有同样的重要性。用他的同事、数学家杰弗里•斯托普尔（Jeffrey Stopple）的话来说，张能对朗道-西格尔零点问题作出证明，那么加上他的上一份成就，“在某种意义上，（其概率）就像是同一个人被闪电劈中两次。”张益唐认为，如果黎曼假设得以证实，数学领域中将有上百个问题迎刃而解。
最后一提，黎曼假设是与素数有关的最著名猜想，但还有一些关于特殊素数（如梅森素数、回文素数等）的重要猜想也值得人们去探究和解决。由中国数学家和语言学家周海中提出的关于梅森素数分布的猜想（即“周氏猜测”）就是其中之一，它是唯一以精确表达式说明梅森素数分布的命题。美籍挪威数学家、菲尔茨奖和沃尔夫奖得主阿特勒•塞尔伯格（Atle Selberg）认为，周氏猜测具有创新性，开创了富于启发性的新方法；其创新性还表现在揭示新的规律上。
文/徐斌（作者单位：西北大学数学学院）
