黎曼曲率

黎曼曲率，黎曼研究一般的弯曲空间，在满足一定条件的集合中给定一个二阶协变张量场；对于局部坐标x1，…，xn，这个张量场可以写为gij(x1，…，xn)，它是对称的，并且是非退化的。这样的集合称为黎曼空间。gij称为黎曼空间的度规张量。在这种空间中的弧元平方定义为ds2=gij(x1，…，xn)dxidxj。上指标与下指标相同，代表这个指标分别取空间中各维来求和。这种空间的弯曲性质用黎曼曲率张量表示为：

式中

被称作联络。由 R ^λμvx经过一次升标和缩并运算，可以得到另外两个表征 空间弯曲的量，即里齐张量 R^μv 和标量 曲率 R。由某点上两个线性独立的方向 ξ媰，ξ媱决定的标量：

叫作黎曼空间在该点的黎曼曲率。