“千禧年大奖难题”的版本间的差异

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1963年[[美国]]数学家[[保罗·柯恩]]以[[力迫|力迫法]]证明连续统假设不能由[[策梅洛-弗兰克尔集合论|策梅洛-弗兰克尔集合论]]（无论是否含[[选择公理]]）推导。也就是说，连续统假设成立与否无法由ZF/ZFC确定。
 
1963年[[美国]]数学家[[保罗·柯恩]]以[[力迫|力迫法]]证明连续统假设不能由[[策梅洛-弗兰克尔集合论|策梅洛-弗兰克尔集合论]]（无论是否含[[选择公理]]）推导。也就是说，连续统假设成立与否无法由ZF/ZFC确定。
  
  
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[[库尔特·哥德尔]]在1931年证明了[[哥德尔不完备定理|哥德尔不完备定理]]，但此定理是否已回答了希尔伯特的原始问题，数学界没有共识。
 
[[库尔特·哥德尔]]在1931年证明了[[哥德尔不完备定理|哥德尔不完备定理]]，但此定理是否已回答了希尔伯特的原始问题，数学界没有共识。
  
  
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'''答案：否。'''1900年，希尔伯特的学生[[马克斯·德恩]]以一反例证明了是不可以的。
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希尔伯特对于这个问题的定义过于含糊。
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1953年日本数学家[[山边英彦]]证明在无“小的子群”情况下，答案是肯定的；但此定理是否已回答了希尔伯特的原始问题，数学界仍有争论。
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|1953年日本数学家[[山边英彦]]证明在无“小的子群”情况下，答案是肯定的<ref>{{Cite journal|title=On Continuous Isomorphisms of Topological Groups|url=http://dx.doi.org/10.1017/s0027763000022881|last=Gotô|first=Morikuni|last2=Yamabe|first2=Hidehiko|date=1950-06|journal=Nagoya Mathematical Journal|doi=10.1017/s0027763000022881|volume=1|pages=109–111|issn=0027-7630}}</ref>；但此定理是否已回答了希尔伯特的原始问题，数学界仍有争论。
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希尔伯特后来对这个问题进一步解释，而他自己也进一步研究这个问题。[[柯尔莫戈洛夫|柯尔莫哥洛夫]]对此[[概率公理|也有贡献]]。然而，尽管公理化已经开始渗透到物理当中，量子力学中仍有至今不能逻辑自洽的部分（如[[量子场论]]），故该问题未完全解决。
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|希尔伯特后来对这个问题进一步解释，而他自己也进一步研究这个问题。[[柯尔莫戈洛夫|柯尔莫哥洛夫]]对此[[概率公理|也有贡献]]。然而，尽管公理化已经开始渗透到物理当中，量子力学中仍有至今不能逻辑自洽的部分（如[[量子场论]]），故该问题未完全解决。
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'''答案：是。'''分别于1934年、1935年由苏联数学家亚历山大·格尔丰德与德国数学家特奥多尔·施耐德[[格尔丰德-施奈德定理|独立地解决]]。
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|'''答案：是。'''分别于1934年、1935年由苏联数学家亚历山大·格尔丰德与德国数学家特奥多尔·施耐德[[格尔丰德-施奈德定理|独立地解决]]。
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虽然分别有比较重要的突破和被解决的弱化情况，三个问题均仍未被解决。
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|虽然分别有比较重要的突破和被解决的弱化情况，三个问题均仍未被解决。
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1927年德国的[[埃米尔·阿廷]]证明在阿贝尔扩张的情况下答案是肯定的；此外的情况则尚未证明。
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'''答案：否。'''1970年由苏联数学家[[尤里·马季亚谢维奇]]证明。
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有理数的部分由[[哈塞]]于1923年解决。
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[[埃里希·赫克]]于1912年用希尔伯特模形式研究了实二次域的情形。虚二次域的情形用复乘{{Link-en|复乘理论|Complex multiplication}}已基本解决。一般情况下则尚未解决。
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|[[埃里希·赫克]]于1912年用希尔伯特模形式研究了实二次域的情形。虚二次域的情形用复乘{{Link-en|复乘理论|Complex multiplication}}已基本解决。一般情况下则尚未解决。
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1957年苏联数学家[[柯尔莫戈洛夫|柯尔莫哥洛夫]]和[[弗拉基米尔·阿诺尔德]]证明对于单值解析函数，答案是否定的；然而希尔伯特原本可能希望证明的是代数函数的情形，因此该问题未获得完全解答。
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|1957年苏联数学家[[柯尔莫戈洛夫|柯尔莫哥洛夫]]和[[弗拉基米尔·阿诺尔德]]证明对于单值解析函数，答案是否定的；然而希尔伯特原本可能希望证明的是代数函数的情形，因此该问题未获得完全解答。
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'''答案：否。'''1962年日本人[[永田雅宜]]提出反例。
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一部分在1938年由[[范德瓦登]]得到严谨的证明。
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此问题进展缓慢，即使对于度为8的代数曲线也没有证明。
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|此问题进展缓慢，即使对于度为8的代数曲线也没有证明。
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'''[[希尔伯特第十七问题|第17题]]'''，把[[有理函数]]写成[[平方和]][[分式]]。已解决。
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'''答案：是。'''1927年[[埃米尔·阿廷]]解决此问题，并提出[[实封闭域]]。
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|'''答案：是。'''1927年[[埃米尔·阿廷]]解决此问题，并提出[[实封闭域]]。<ref>{{Cite book|chapter=Über die Zerlegung definiter Funktionen in Quadrate|title=Emil Artin Collected Papers|url=http://dx.doi.org/10.1007/978-1-4612-5717-2_21|publisher=Springer New York|date=1965|location=New York, NY|isbn=9781461257189|pages=273–288|first=Emil|last=Artin}}</ref><ref>{{Cite journal|title=Algebraische Konstruktion reeller Körper|url=http://dx.doi.org/10.1007/bf02952512|last=Artin|first=Emil|last2=Schreier|first2=Otto|date=1927-12|journal=Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg|issue=1|doi=10.1007/bf02952512|volume=5|pages=85–99|issn=0025-5858}}</ref>
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1911年比伯巴赫(数学家)（Ludwig Bieberbach）做出“n维[[欧氏几何]]空间只允许有限多种两两不等价的[[空间群]]”；莱因哈特（Karl Reinhardt ）证明不规则多面体亦可填满空间；[[托马斯·黑尔斯]]于1998年提出了初步证明，并于2014年8月10日用计算机完成了[[开普勒猜想]]的形式化证明，证明球体最紧密的排列是面心立方和六方最密两种方式。
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|1911年{{Link-en|比伯巴赫(数学家)|Ludwig Bieberbach|比伯巴赫}}做出“n维[[欧氏几何]]空间只允许有限多种两两不等价的[[空间群]]”；{{Link-en|莱因哈特|Karl Reinhardt (mathematician)}}证明不规则多面体亦可填满空间；[[托马斯·黑尔斯]]于1998年提出了初步证明，并于2014年8月10日用计算机完成了[[开普勒猜想]]的形式化证明，证明球体最紧密的排列是面心立方和六方最密两种方式。
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'''[[希尔伯特第十九问题|第19题]]'''，[[拉格朗日]]系统（Lagrangian）之解是否皆[[可解析]]。已解决。
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| [[拉格朗日]]系统（Lagrangian）之解是否皆[[可解析]]
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'''答案：是。'''1956年至1958年Ennio de Giorgi和[[约翰·福布斯·纳什|约翰·福布斯·纳什]]分别用不同方法证明。
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|'''答案：是。'''1956年至1958年{{tsl|en|Ennio de Giorgi}}和[[约翰·福布斯·纳什|约翰·福布斯·纳什]]分别用不同方法证明。
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实际上工程和科研中遇到的边值问题都是[[适定]]的，因而都可以确定是否有解。
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|实际上工程和科研中遇到的边值问题都是[[适定]]的，因而都可以确定是否有解。<ref>{{Cite journal|title=The solvability of boundary value problems (Hilbert’s problem 19)|url=http://dx.doi.org/10.1090/pspum/028.2/0427784|last=Serrin|first=James|date=1976|journal=Proceedings of Symposia in Pure Mathematics|doi=10.1090/pspum/028.2/0427784|pages=507–524|issn=2324-707X}}</ref>
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'''[[希尔伯特第二十一问题|第21题]]'''，证明有线性[[微分方程]]有给定的单值群（monodromy group）。已解决。
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| 证明有线性[[微分方程]]有给定的单值群（monodromy group）
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此问题的答案取决于问题的表述：部分情况下是肯定的，部分情况下则是否定的。
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|此问题的答案取决于问题的表述：部分情况下是肯定的，部分情况下则是否定的。
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| [[希尔伯特第二十二问题|第22题]]
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'''[[希尔伯特第二十二问题|第22题]]'''，将解析关系（analytic relations）以自守函数（Automorphic function）一致化。部分解决。
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| 将解析关系（analytic relations）以{{link-en|自守函数|Automorphic function}}一致化
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1904年由保罗·克伯（Paul Koebe）和[[庞加莱]]取得部分解决。
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|1904年由{{link-en|保罗·克伯|Paul Koebe}}和[[庞加莱]]取得部分解决。详见[[单值化定理]]。
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'''[[希尔伯特第二十三问题|第23题]]'''，[[变分法|变分法]]的长远发展。开放性问题。
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包括希尔伯特本人、[[昂利·勒贝格]]、[[雅克·阿达马]]等数学家皆投身于此。[[理查德·贝尔曼]]提出的[[动态规划]]可作为变分法的替代。
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|包括希尔伯特本人、[[昂利·勒贝格]]、[[雅克·阿达马]]等数学家皆投身于此。[[理查德·贝尔曼]]提出的[[动态规划]]可作为变分法的替代。
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=== 参见 ===
 
=== 参见 ===

2021年5月18日 (二) 11:00的最后版本

千禧年大奖难题（英语：Millennium Prize Problems），是七个由美国克雷数学研究所（Clay Mathematics Institute，CMI）于2000年5月24日公布的数学难题，解题总奖金700万美元。根据克雷数学研究所制定的规则，这一系列挑战不限时间，题解必须发表在国际知名的出版物上，并经过各方验证，只要通过两年验证期和专家小组审核，每解破一题可获奖金100万美元。

这些难题旨在呼应1900年德国数学家大卫·希尔伯特在巴黎提出的希尔伯特的23个问题（23个历史性数学难题），经过一百年，约17个难题至少已被部分解答。而千禧年大奖难题的破解，极有可能为密码学、航天、通讯等领域带来突破性进展。

迄今为止，在七个问题中，庞加莱猜想是唯一被解决的，2003年，俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼证明了它的正确性。而其它六道难题仍有待研究者探索。


希尔伯特的23个问题：

希尔伯特的23个问题，是德国数学家大卫·希尔伯特于1900年在巴黎举行的第二届国际数学家大会上作了题为《数学问题》的演讲，所提出23道最重要的数学问题。希尔伯特问题对推动20世纪数学的发展起了积极的推动作用。在许多数学家努力下，希尔伯特问题中的大多数在20世纪中得到了解决。希尔伯特问题中未能包括拓扑学、微分几何等领域，除数学物理外很少涉及应用数学，更不曾预料到电脑的发展将对数学产生重大影响。20世纪数学的发展实际上远远超出了希尔伯特所预示的范围。希尔伯特问题中的1-6是数学基础问题，7-12是数论问题，13-18属于代数和几何问题，19-23属于数学分析。


以下是希尔伯特的23个问题：


第1题，连续统假设。部分解决。

1963年美国数学家保罗·柯恩以力迫法证明连续统假设不能由策梅洛-弗兰克尔集合论（无论是否含选择公理）推导。也就是说，连续统假设成立与否无法由ZF/ZFC确定。


第2题，算术公理之相容性。部分解决。

库尔特·哥德尔在1931年证明了哥德尔不完备定理，但此定理是否已回答了希尔伯特的原始问题，数学界没有共识。


第3题，两四面体有相同体积之证明法。已解决。

答案：否。1900年，希尔伯特的学生马克斯·德恩以一反例证明了是不可以的。


第4题，建立所有度量空间使得所有线段为测地线。

希尔伯特对于这个问题的定义过于含糊。


第5题，所有连续群是否皆为可微群。已解决。

1953年日本数学家山边英彦证明在无“小的子群”情况下，答案是肯定的；但此定理是否已回答了希尔伯特的原始问题，数学界仍有争论。


第6题，公理化物理。部分解决。

希尔伯特后来对这个问题进一步解释，而他自己也进一步研究这个问题。柯尔莫哥洛夫对此也有贡献。然而，尽管公理化已经开始渗透到物理当中，量子力学中仍有至今不能逻辑自洽的部分（如量子场论），故该问题未完全解决。


第7题，若b是无理数、a是除0、1之外的代数数，那么ab是否超越数。已解决。

答案：是。分别于1934年、1935年由苏联数学家亚历山大·格尔丰德与德国数学家特奥多尔·施耐德独立地解决。


第8题，黎曼猜想及哥德巴赫猜想和孪生素数猜想。未解决。

虽然分别有比较重要的突破和被解决的弱化情况，三个问题均仍未被解决。


第9题，任意代数数域的一般互反律。部分解决。

1927年德国的埃米尔·阿廷证明在阿贝尔扩张的情况下答案是肯定的；此外的情况则尚未证明。


第10题，不定方程可解性。已解决。

答案：否。1970年由苏联数学家尤里·马季亚谢维奇证明。


第11题，代数系数之二次形式。部分解决。

有理数的部分由哈塞于1923年解决。


第12题，一般代数数域的阿贝尔扩张。未解决。

埃里希·赫克于1912年用希尔伯特模形式研究了实二次域的情形。虚二次域的情形用复乘模板:Link-en已基本解决。一般情况下则尚未解决。


第13题，以二元函数解任意七次方程。部分解决。

1957年苏联数学家柯尔莫哥洛夫和弗拉基米尔·阿诺尔德证明对于单值解析函数，答案是否定的；然而希尔伯特原本可能希望证明的是代数函数的情形，因此该问题未获得完全解答。


第14题，证明一些函数完全系统（Complete system of functions）之有限性。已解决。

答案：否。1962年日本人永田雅宜提出反例。


第15题，舒伯特演算（Schubert calculus）之严格基础。部分解决。

一部分在1938年由范德瓦登得到严谨的证明。


第16题，代数曲线及表面之拓扑结构。未解决。

此问题进展缓慢，即使对于度为8的代数曲线也没有证明。


第17题，把有理函数写成平方和分式。已解决。

答案：是。1927年埃米尔·阿廷解决此问题，并提出实封闭域。


第18题，非正多面体能否密铺空间、球体最紧密的排列。已解决。

1911年比伯巴赫(数学家)（Ludwig Bieberbach）做出“n维欧氏几何空间只允许有限多种两两不等价的空间群”；莱因哈特（Karl Reinhardt ）证明不规则多面体亦可填满空间；托马斯·黑尔斯于1998年提出了初步证明，并于2014年8月10日用计算机完成了开普勒猜想的形式化证明，证明球体最紧密的排列是面心立方和六方最密两种方式。


第19题，拉格朗日系统（Lagrangian）之解是否皆可解析。已解决。

答案：是。1956年至1958年Ennio de Giorgi和约翰·福布斯·纳什分别用不同方法证明。


第20题，所有边值问题是否都有解，已解决。

实际上工程和科研中遇到的边值问题都是适定的，因而都可以确定是否有解。


第21题，证明有线性微分方程有给定的单值群（monodromy group）。已解决。

此问题的答案取决于问题的表述：部分情况下是肯定的，部分情况下则是否定的。


第22题，将解析关系（analytic relations）以自守函数（Automorphic function）一致化。部分解决。

1904年由保罗·克伯（Paul Koebe）和庞加莱取得部分解决。


第23题，变分法的长远发展。开放性问题。

包括希尔伯特本人、昂利·勒贝格、雅克·阿达马等数学家皆投身于此。理查德·贝尔曼提出的动态规划可作为变分法的替代。


参见

取自“https://www.zwbk2009.com/index.php?title=千禧年大奖难题&oldid=843370”