微分

　　微分（differential），数学基本概念之一。如果函数y＝f(x)在x点的增量Δy＝f(x＋Δx)－f(x)能表为Δy＝A·Δx＋0(Δx) ，其中A是一个与Δx无关的数，第二项0(Δx)表示当Δx→0时比 Δx高阶的无穷小量，即0(Δx)趋于0的速度比Δx趋于0的速度要快，则称A·Δx为f在x点的微分，记为dy或df(x)，并说函数在x点可微。因为自变量x的微分dx＝Δx，所以又常把A·Δx记为A·dx。由0(Δx)的意义可知，Δy≈dy。比如半径为r的圆面积S＝πr²，若半径增大Δr，则面积增量(即圆环面积)ΔS＝π(r＋Δr) ²－πr²＝2πr·Δr＋π(Δr) ²。显然，当Δr→0时，π(Δr) ²趋于0的速度比Δr趋于0的速度要快得多，因此ΔS≈2πr·Δr＝dS。它的几何意义是：圆环面积近似等于2πr·Δr。取r＝1，Δr＝0.01，则ΔS＝2π·10^-2＋π·10^-4≈2π·10^-2。这样做的好处是与线性函数(即一次函数)有类似的方便，能简单地计算Δy的近似值。也正是因为dy在形上为Δx的线性函数，又是函数增量Δy的主要部分，所以函数在x点的微分dy是Δy的线性主部。

　　函数y＝f(x)在x点可微的充要条件是它在x点有导数y′＝f(x)，而且dy＝f′(x)·dx。因此函数在x点可导与可微是一致的，不必严格区分，有时也把求导运算说成是进行微分运算。

　　微分在近似计算中有重要作用。它是估计函数增量的有力工具。例如，y＝sinx的微分dy＝cosx·dx，所以从Δy≈dy知，当｜Δx｜很小时，sin（x＋Δx）≈sinx＋cosx·Δx。为求sin31°的近似值，可取x＝30°＝，Δx＝1°＝≈0.01745，得到sin31°≈sin＋cos·＝0.5＋×0.01745≈0.5151。特别地，若取x＝0，记h＝Δx，则有sinh≈h。