无穷性公理

无穷性公理（axiom of infinity），集合论中肯定无穷集合存在的公理。

G.F.P.康托尔在建立集合论时，发现仅靠逻辑公理不能保证有无穷集合存在，因为没有一个一阶公式能在无穷个体域有效而在有穷个体域上不有效。而利用ZF系统中的公理①～⑥及⑧、⑨（见集合论）虽然可以定义一个个具体的自然数，也可以定义自然数概念，但却无法证明全体自然数的集合ω ={0，1，… }存在，也无法证明任何一个无穷集合的存在性。实际上，如果ZF-有模型，则全体继承性有穷的集合，即其本身有穷、其元素有穷、其元素的元素有穷……仍是ZF-的模型。即便如此，ZF-公理仍不能保证无穷集的存在，而必须有一条专门的公理。

按照无穷性公理，最基本的无穷集是自然数集ω，ω的最突出的特点是归纳性。它表现为如果φ ∈，并且x∈AU{x}∈A，就称A为归纳集。无穷公理通常就是从这个角度陈述的。利用无穷性公理和子集公理（见子集公理模式）可以定义 ω为最小的归纳集，一旦有了ω 就可以证明归纳原则和递归定理，然后就可以递归地定义自然数上的各种运算。例如，可以把加法定义为m+0=m，n+s(n)=s（m+n）；乘法定义为m·0=0，m·s(n)=m·n+m。例中m为任意自然数，自然数之间的＜关系定义为∈。容易验证，这样定义出的自然数与直观的自然数概念是吻合的。利用 ω和ZF公理可以定义整数、有理数、实数、复数等各种数学对象及其运算，也可以推出形形色色的无穷集合的存在性。

现代集合论中还有一些强无穷性公理，也叫大基数公理，它们断言有各种大基数存在，现已提出的大基数达数十种，它们都可以看作是埲的某种推广。