集合论
集合论（英语：Set Theory），数学的分支学科，数理逻辑的组成部分。它用公理化或朴素直观的方法研究集合的性质。纯数学的其他分支几乎都可以在集合论的范围内来定义和讨论。从这个意义上说，集合论可以看作是整个现代数学的基础，至多范畴论除外。
集合论是G.康托尔于19世纪末创立的。它的发展经历两个阶段：1908年以前称为朴素集合论；1908年以后产生了公理集合论。后者是前者的公理化结果。
朴素集合论
1871年康托尔在研究三角级数时引入了一些直线上点集拓扑的概念，之后他通过集合间的一一对应关系定义了等势、可数等概念，并创造性地用对角线法证明了任意闭区间[a,b]中的点和整数是不等势的，也就是不可数的。他探讨了前人从未涉及的实数点集，这是集合论研究的开端。1874年康托尔越过“数集”的限制，开始一般地提出“集合”的概念。他对集合的定义是这样的：把若干确定的有区别的(不论是具体的或抽象的)事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合(简称集)，其中各事物称为该集合的元素(或成员)，也说它属于该集合。事物a属于集合A记为a∈A。有了集合概念之后，就可进一步定义集合的子集、幂集、集合的并、交以及集合上的关系及集合到集合的映射等一系列概念(见集合、映射)。在朴素集合论中，这一切都是很直观明显的。
康托尔的卓越成就是关于无穷集的研究。他把判定两个集合大小的方法由有穷集合推广到无穷集合：元素间能建立一一对应的集合称为等势。这相当于有穷集中的两个集合大小相等。与有穷集合不同的是：一个无穷集可与它的一个真子集等势，这与传统的观念“全体大于部分”矛盾，但这恰恰是无穷集区别于有穷集的特征。
在对无穷集的研究中，康托尔开始只考虑到集合中元素的多少，没有考虑这些元素间可能出现的顺序。但后来他意识到有顺序的集合的重要性。从1883年起康托尔开始研究有序集合，特别是任一子集都有第一个元素的有序集——良序集。为此他引入序数的概念。序数将自然数表示“第几个”的功能扩展到无限。利用序数可以把良序集编号，并将数学归纳法推广到超限归纳法。序数和基数理论的研究不仅回答了人们困惑已久的“什么是数”及“什么是无限”的问题，而且将无穷作为数学研究的实体，可以区分无限集的大小并进行运算。此外他还提出了良序原则和连续统假设（简记为CH）。以上关于序数、基数的理论是康托尔于1895、1897年在以《关于超穷集合论的基础》为题的两篇文章中发表的。
集合论的公理化
“无限”一直是一个重大的哲学问题。自亚里士多德以来直到19世纪的许多数学家如C.F.高斯等都只承认潜无限，所以康托尔关于实无限的集合论一开始就遭到当时权威数学家L.克罗内克、H.庞加莱等人的非难，但由于它应用在分析、拓扑和测度论上的成功，更多的数学家倾向于接受它。集合论受到非难，不仅是因为哲学观点和数学上的思想分歧，严重的困惑来自集合论内部。在19、20世纪交替的十余年中，集合论的悖论相继发现，特别是罗素悖论的提出，使人们对数学理论的正确性产生了怀疑，出现了第三次数学危机。按照朴素集合论的观点，所有集合的全体也应构成一个集合V,V的势应该不小于其他任何集合的势。但由康托尔定理，它又明明小于其幂集P(V)的势，这就出现矛盾(康托尔悖论，1899)。同样，所有不属于自身(即不包含自身作为元素)的集合应构成一集合R，现在问R是否属于R。如果R属于R，则R满足R的定义，因此R不应属于自身，即R不属于R；另一方面，如果R不属于R，则R不满足R的定义，因此R应属于自身，即R属于R。总之，不论哪种情况，“R属于R”与“R不属于R”同时成立，这是个矛盾(罗素悖论，1903)。
为了克服悖论所带来的困难，E.F.F.策梅洛于1908年提出一个公理化的方案。他认为康托尔原来的集合定义需要有所限制，以防止过大集合的产生。但这样的定义至今没有找到。因此，只有从现有的集合论成果出发，反过来寻找可以建立集合论的原则。这些原则必须能够排除一切矛盾，同时又使康托尔集合论中一切有价值的内容保存下来。策梅洛的公理系统以“集合”与“属于”为仅有的不加定义的原始概念，包括外延公理、空集合存在公理、无序对集合存在公理、并集合公理、幂集合公理、无穷公理、分离(子集合)公理、选择公理等。策梅洛的公理系统经过A.A.弗伦克尔、A.T.斯科朗和J. 冯·诺伊曼等人的改进，又补充了替换公理和正则公理两条，成为今天所谓的ZF或ZFC公理系统。分离公理与替换公理实际上是各自包括无穷多条公理的公理模式。其中除外延公理与选择公理是对于集合的刻画或限制之外，其余的公理都是关于集合的存在性公理。特别值得注意的是子集公理：给定一个集合S和任一性质P，则S中所有具有性质P的元素构成一个集合。它不像康托尔那样承认一切具有给定性质P的事物总构成一个集合，而是先要有一个更大的集合，这就大大限制了集合构成的任意性。ZF公理系统是相当成功的，它确实在很大程度上弥补了朴素集合论的不足。当然，由于哥德尔第二不完全性定理，ZF公理系统作为包括自然数理论的一阶形式体系是不可能在其内部解决本身的协调性问题的。这是一切这类体系固有的局限性。
集合论的公理系统除ZF公理系统外还有好多种，其中最重要的要算1925～1937年形成的J.冯·诺伊曼、P.贝奈斯、K.哥德尔的公理系统，称为NBG公理系统，它的特点是在“集合”与“属于”之外，还引入了“类”作为不定义的概念。类比集合更为概括，任一性质都可确定一个类。可以说“一切集合所成之类”，也可说“一切不属于自身的集合所成之类”。一个类是一个集合，当且仅当它是某一个类的元素。不是集合的类称为真类，上面提到的两个类就是真类的例子。NBG公理系统优于ZF公理系统之处在于：它可表述为不含公理模式而只由有限多条公理所组成的体系。可以证明，如果ZF公理系统协调，则NBG公理系统也协调(而且后者是前者的一个保守的扩张)。但由于NBG公理系统没有ZF公理系统简明方便，所以采用得较少(特别在科恩的工作以后)。
选择公理
集合论中最著名的公理，简记为AC，最早见于康托尔著作中。它作为一种显而易见的事实被不自觉地加以运用。1890年G. 皮亚诺在证明常微分方程解的存在性定理时已注意到：“在一族集合里的每一个集合中是否能选出一个代表元素”这一事实在论证中至关重要。1904年策梅洛在证明良序定理时明白地表述选择公理：设A是一个非空集族，它的元素是互不相交的非空集合，则存在一个集合C，它与A中每一个集有且仅有一个公共元。其中集合C称为集族A的选取集合。1906年B.A.W.罗素给出了选择公理的另一表述形式：互不相交的非空的非空集族的直积不空，称为乘积公理。1908年策梅洛在他的ZF公理系统中，给出了与原选择公理等价的一般化形式，取消了集合互不相交的限制，表述为：设A是一个非空集的一个非空族，则存在一个函数f，对于A中任一元素x，总有f(x)∈x。这样的函数f称为A的选择函数。选择公理对整个数学的影响是巨大的，与它等价的命题有良序定理、满射原理、极大原理、关系的限制映射性质、基数的和积等性质、柯尼希定理、吉洪诺夫紧直积空间定理、理想子代数的存在定理等多达一百余个。它在数学的许多分支，如分析、拓扑、代数中几乎已是不可缺少的工具。但是，AC具有纯存在、非构造的性质，即在集族A已知的条件下，没有一个能行的方法把选择函数f构造出来。此外巴拿赫–塔尔斯基怪球定理也是应用AC证明的，这些都使它成为数学史上继平行公理之后最有争议的一条公理的主要原因。由于AC所处的这种特殊地位，人们把包括AC的公理系统简记为ZFC，以区别不包括AC的ZF系统。
连续统假设
集合论中的一个著名猜想，简单地说就是关于直线上有多少点的问题，又称连续统问题，简记为CH。1878年康托尔猜测实数集的任一不可数子集与实数集等势。他称实数集为连续统。因为它的自然顺序具有戴德金连续性。任意两个连续统是彼此等势的。如果用c表示连续统基数，用1א表示最小的不可数基数，则CH可表示为1א=c。由于实数集R的势等于自然数集N(它的势为0א)的幂集的势20א，即c=20א
1900年D.希尔伯特在巴黎国际数学家大会上所做的著名讲演中把CH列为当时未解决的23个数学问题中的第一个。1908年希尔伯特又把它推广为：对于任何序数α，אα+1＝2אα，称为广义连续统假设，简记为GCH。1963年P.J.科恩用力迫法证明连续统假设与ZF公理系统是独立的，也就是说，ZF系统中既不能证明，也不能否定CH。
