最大公因数

最大公因数（英语：greatest common divisor），设a_1,a_2,…,a_k是一组不全为0的整数。若d整除a_1,a_2,…,a_k中的每个数，则称d是a_1,a_2,…,a_k的公因数(又称公约数)，所有公因数中的最大的称为a_1,a_2,…,a_k的最大公因数，或最大公约数，记作gcda_1,a_2,…,a_k)，或(a_1,a_2,…,a_k)。

若最大公因数等于1，则称这组数是互素的，又称互质的，或既约的。最大公因数有下列性质：

①可用辗转相除法来求两个整数的最大公因数。

②a_1,a_2,…,a_k的最大公因数一定可表为c₁a₁＋c₂a₂＋…＋c_ka_k的形式，其中c₁,c_2,…,c_k是整数。

③一组整数的最大公因数的本质属性是：它是这一组整数的公因数，且这一组整数的任一公因数一定是它的因数。

这可以作为最大公因数的定义，并可把最大公因数的概念推广至代数整数环。除性质外，最大公因数理论的主要内容还有：(a₁,a₂,a_3,…，a_k)=((a1,a2),a3,…,ak)；若(a,b)=1，则(a,bc)=(a,c)；以及若(a,b)=1，a∣bc，则a∣c。最大公因数理论是整除理论的组成部分。

参见

• 数学
• 数学基本条目

• 代数几何学