梅森数

梅森数（英语：Mersenne numbers），形如2^p－1的正整数，其中p是素数，常记为Mp。若Mp是素数，则称为梅森素数。因法国修道士M.梅森的研究得名。

17世纪中叶M.梅森指出（但没有证明）当 p≤257时共有11个 M_p为素数，但他的结论并不完全正确。

到2006年9月4日为止，共发现44个梅森素数，与之相应的素数 p是： p＝2,3,5,7,13,17,19,31,61,89,107,127,521, 607,1 279,2 203,2 281,3 217,4 253,4 423, 9 689,9 941,11 213,19 937,21 701,23 209, 44 497, 86 243,110 503,132 049,216 091,756 839,859 433,1 257 787,1 398 269, 2 976 221, 3 021 377,6 972 593,13 466 917, 2^{20 996 011}−1, 2^{24 036 583}−1, 2^{25 964 951}−1, 2^{30 402 457}−1, 2^{32 582 657}−1。

除前12个外，都是自1952年以来根据现代素数判别法应用计算机找到的。最后一个梅森数共有9 808 358位。不少梅森数给出了当时已知的最大素数的记录。

梅森数与完全数密切相关。人们猜测有无穷多个梅森素数。用M(x)表示使M_p为素数的不超过x的素数p的个数，有人猜想M(x)～eγlog₂x，式中γ＝0.577 215 664…，是欧拉常数。

参见

• 数学
• 数学基本条目

• 计算数学
• 数论