组合数学
组合数学（英语：combinatorial mathematics），一个既古老但又新兴发展的数学分支。又称组合学或组合理论。它研究的是离散的对象，以及人们在处理离散对象的过程中所积累起来的关于“数”（shǔ）的技巧。从组合数学研究的对象来看，它的产生和发展改变了传统数学中分析学和代数学占统治地位的局面，现代数学因此可以分为两大类：一类是研究连续对象的，如分析学、方程等，另一类就是研究离散对象的，如组合数学。
组合数学就其为人类认知客观世界所提供的方法和途径而言，也与其他数学分支有所不同。人类在利用数学探索周围世界的过程中，采用了两种不同的工具：其一是“数”，从远古时代以石子、结绳和刻痕计数开始，随着对数的了解和研究的深入，形成了以研究“数”为目的的数论、代数学、函数论、泛函分析等数学分支；其二是“形”，继欧几里得《几何原本》的问世，以研究“形”为目的的几何学、拓扑学和范畴论也相继成为独立的数学学科并得以发展。
到了现代，代数拓扑学和代数几何学等新兴学科则将“数”与“形”密切联系在一起，把它们共同作为研究的对象。但组合数学关注的并非“数”和“形”本身，而是由其他数学分支中“数”的多样性或“形”的多样性所引发的对数（shǔ）“数”、数（shǔ）“形”的多样性的研究，即，数（shǔ）的技巧。由此看来，组合数学与其他数学分支既存在明显的差异，也有着必然的密切联系。它的许多研究内容与方法都来自于、也应用于各个数学分支，但其最根本、最独特的研究问题与方法源于人们对客观世界中存在的“数”与“形”及其关系的发现和认识。
人们最初研究的组合问题是“安排”：如何按照某种确定的约束条件，把已给的有限个或可数无限个物体作安排。这其中涉及如下几个问题：
①符合要求的安排是否存在。
②这些安排有多少种。
③怎样作出这些安排。
④当有衡量这些安排优劣的标准时，怎样求出最优的安排。（它们可以依次称作存在性问题、计数问题、构造问题和优化问题）。
人类对这类问题的认识很早就开始了，并且随着代数学、数论、概率论等其他数学分支的发展，这种认识得以逐步提高并相继得到许多有趣且有实际意义的结果：中国古代的《易经》中借助十个天干和十二个地支，以六十为周期来记载年份；洛书中关于幻方（又称纵横图）的记载表明人们很早就能够构造这种特殊的组合结构；11世纪中叶，中国数学家贾宪给出了直到六次幂的二项式系数表，至13世纪杨辉在《详解九章算法》(1261)加以引用，现被称作“杨辉三角”。1654年，法国数学家B．帕斯卡在《论算术三角形》一文中详细论述了二项系数的性质和应用；与此同时，他和P.de费马在对赌博理论的研究中也发现了一些组合数学的结果；1666年，德国数学家G.W.莱布尼茨发表了论文《论组合的技巧》，为组合方法的系统发展奠定了基础，其中首次在数学的意义下使用“组合”一词；1713年，瑞士数学家雅各布第一·伯努利出版了概率论的第一部著作《猜度术》）（或称《推测术》），其中提出了一系列组合的概念，也指出了它们在概率演算中的应用。至此，以这些工作为基础，组合数学发展成为独立的数学分支，形成了现在所说的经典组合学。
17世纪以后，经典组合学继续受到娱乐、数论、概率论等学科的推动而迅速发展，得到了一般的存在性定理和计数原理，如：抽屉原理（又称鸽笼原理）及其推广——拉姆齐定理、生成函数（又称母函数）、递归关系的解法、容斥原理、波利亚计数定理等。还解决了一系列著名的问题，包括：更列问题、36军官问题等。18世纪，瑞士数学家L.欧拉为组合数学的发展作出了重大的贡献。生成函数方法正是他在关于正整数分拆和分解成若干加数的论文中首创的一种计数方法；他在数论中引入的欧拉函数φ(n) 不仅在经典组合学中有着广泛的应用，也为后来编码学的发展奠定了基础。除此之外，就组合数学本身的发展来说，更为重要的是欧拉将人们的认识从数（shǔ）“数”推广到了数（shǔ）“形”，他解决了著名的柯尼斯堡七桥问题，并且加以推广，给出了以某种方式走遍一个给定的图的判定法则；他还发现了凸多面体顶点数v、边数e和面数f之间的巧妙关系：f－e＋v＝2, f－e＋v被称为欧拉示性数，现已成为拓扑学中的基本概念。欧拉的这些关于图和形的独创性工作，逐步开创和发展了组合数学的一个重要组成部分——图论。
19世纪，德国数学家C.F.高斯提出了在经典组合学中占有重要地位的组合系数（现称高斯系数），他还研究平面上闭曲线的相交问题，由此所引发的高斯猜想不仅有助于拓扑学，而且也有助于组合数学中图论的发展。同在这一时期，由英国数学及逻辑学家G.布尔创立的布尔代数也已经发展成为组合数学中序理论的基石。
20世纪以后，随着科学技术的发展，组合数学这门古老的学科获得了新的生命力和更大的发展机遇。许多理论学科和应用学科（如物理学、[[化学]、生物学、信息论、计算机科学、运筹学、管理科学和概率论等）都向组合数学提出了大量具有理论和实际意义的问题，促使它产生和发展了许多新的理论。例如，1920年英国生物学家R.A.费希尔提出实验设计的统计理论，完善了从欧拉的拉丁方设计中发展出来的组合设计；1947年美国运筹学家G.B.丹齐克给出了一般的线性规划模型和理论，创立了单纯形法，阐明了其解集的组合结构。这些工作，加上后来运筹学中以网络流为代表的一系列问题的形成与发展，开拓了目前称之为组合最优化的一个组合数学的新分支。
20世纪50年代以来，电子技术、计算机科学的迅猛发展对作为信息技术数学基础的组合数学提出了更高的要求：为适应网络算法和算法复杂性分析、信息安全与编码技术、数学机械化和计算机推理以及以大规模和超大规模集成电路设计为中心的计算机辅助设计等的需求，组合数学中产生和发展了组合算法、组合逻辑、区组设计、组合优化等诸多领域。
在与其他的数学分支，甚至其他自然学科以及社会学科的并行发展过程中，组合数学得到了长足的发展，也取得了令人瞩目的成就。近20年来，组合数学中的方法已经帮助解决了一些数学领域极具挑战性的难题，例如：B.L.范·德·瓦尔登于1926年提出的关于双随机矩阵积和式猜想、P.D.希伍德于1890年提出的曲面地图着色猜想、四色问题的计算机验证、纽结问题（见纽结理论）中新组合不变量的发现等。在数学中已经或正在形成着的诸如组合拓扑、组合几何、组合数论、组合矩阵论、组合群论等与组合数学密切相关的交叉学科，也昭示着组合数学对于整个数学领域的贡献和意义。此外，组合数学正渗透到物理学、力学、化学、生物学、遗传学、心理学、经济学、管理学甚至政治学等其他自然科学以及社会科学的各个方面，如实验设计、软件技术、企业管理、交通规划、战争指挥、金融分析、DNA序列结构分析等。
根据组合数学研究与发展的现状，可以将它划分为如下五个部分：经典组合学、组合设计、组合序、图论和组合多面形与最优化。由于组合数学所涉及的范围触及到几乎所有数学分支，也许和数学本身一样不大可能建立一种统一的理论。正因如此，如何在上述的五个分支的基础上建立一些统一的理论，或者从其中独立出来形成一些新的数学分支，将是对21世纪数学家们提出的一个新的挑战。
在中国现代数学家中，在组合数学领域作出贡献的主要有柯召、华罗庚、吴文俊、万哲先、张里千、陆家羲、张福基等。
