“函数”的版本间的差异

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　　'''函数'''（functions），[[数学]]中的一种对应关系，是从某集合''A''到实数集''B''的对应。简单地说，甲随着乙变，甲就是乙的函数。精确地说，设''X''是一个不空集合，''Y''是某个实数集合，''f''是个规则，若对''X''中的每个''x''，按规则''f''，有''Y''中的一个''y''与之对应，就称''f''是''X''上的一个函数，记作''y''＝''f''（''x''），称''X''为函数''f''（''x''）的定义域，''Y''为其值域，''x''叫做自变量，''y''为因变量。
 
　　'''函数'''（functions），[[数学]]中的一种对应关系，是从某集合''A''到实数集''B''的对应。简单地说，甲随着乙变，甲就是乙的函数。精确地说，设''X''是一个不空集合，''Y''是某个实数集合，''f''是个规则，若对''X''中的每个''x''，按规则''f''，有''Y''中的一个''y''与之对应，就称''f''是''X''上的一个函数，记作''y''＝''f''（''x''），称''X''为函数''f''（''x''）的定义域，''Y''为其值域，''x''叫做自变量，''y''为因变量。
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例1：y＝sinxX＝［0，2π］，Y＝［－1，1］，它给出了一个函数关系。当然，把Y改为Y1＝（a，b），a＜b为任意实数，仍然是一个函数关系。
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例：''y''＝sinx''X''＝［0，2''π''］，''Y''＝［－1，1］，它给出了一个函数关系。当然，把''Y''改为''Y''<sub>1</sub>＝（''a''，''b''），''a''＜''b''为任意实数，仍然是一个函数关系。
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例2：某商场一年12个月毛线的零售量（单位：百千克）变化，见表1。
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　　'''复合函数'''　有3个变量，y是u的函数，y＝ψ（u），u是x的函数，u＝f（x），往往能形成链：y通过中间变量u构成了x的函数：
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x→u→y，这要看定义域：设ψ的定义域为U。f的值域为U，当U*ÍU时，称f与ψ构成一个复合函数，例如y＝lgsinx，x∈（0，π）。此时sinx＞0，lgsinx有意义。但如若规定x∈（－π，0），此时sinx＜0，lgsinx无意义，就成不了复合函数。
  
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　　'''反函数'''　就关系而言，一般是双向的，函数也如此，设y＝f（x）为已知的函数，若对每个y∈Y，有唯一的x∈X，使f（x）＝y，这是一个由y找x的过程，即x成了y的函数，记为x＝f-1（y）。称f-1为f的反函数。习惯上用x表示自变量，故这个函数仍记为y＝f-1（x），例如y＝sinx与y＝arcsinx互为反函数。在同一坐标系中，y＝f（x）与y＝f-1（x）的图形关于直线y＝x对称。
  
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表：表1
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　　'''隐函数'''　若能由函数方程F（x，y）＝0确定y为x的函数y＝f（x），即F（x，f（x））≡0，就称y是x的隐函数。
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多元函数设点（x1，x2，…，xn）∈GÍRn，UÍR1，若对每一点（x1，x2，…，xn）∈G，由某规则f有唯一的u∈U与之对应：f：G→U，u＝f（x1，x2，…，xn），则称f为一个n元函数，G为定义域，U为值域。
  
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　　'''基本初等函数及其图像'''　幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数称为基本初等函数。
  
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例3：某河道的一个断面图如图1所示。
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　　①幂函数：y＝xμ（μ≠0，μ为任意实数）定义域：μ为正整数时为（－∞，＋∞），μ为负整数时是（－∞，0）∪（0，＋∞）；μ＝!!!H0355_15(α为整数)，当α是奇数时为（－∞，＋∞），当α是偶数时为（0，＋∞）；μ＝p／q,p,q互素，作为!!!H0355_16的复合函数进行讨论。略图如图2、图3。
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图1
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其深度y与一岸边点O到测量点的距离x之间的对应关系呈曲线，这代表一个函数，定义域为［0，b］。以上3例展示了函数的三种表示法：公式法，表格法和图像法。
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复合函数有3个变量，y是u的函数，y＝ψ（u），u是x的函数，u＝f（x），往往能形成链：y通过中间变量u构成了x的函数：
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x→u→y，这要看定义域：设ψ的定义域为U。f的值域为U，当U*ÍU时，称f与ψ构成一个复合函数，例如y＝lgsinx，x∈（0，π）。此时sinx＞0，lgsinx有意义。但如若规定x∈（－π，0），此时sinx＜0，lgsinx无意义，就成不了复合函数。
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反函数就关系而言，一般是双向的，函数也如此，设y＝f（x）为已知的函数，若对每个y∈Y，有唯一的x∈X，使f（x）＝y，这是一个由y找x的过程，即x成了y的函数，记为x＝f-1（y）。称f-1为f的反函数。习惯上用x表示自变量，故这个函数仍记为y＝f-1（x），例如y＝sinx与y＝arcsinx互为反函数。在同一坐标系中，y＝f（x）与y＝f-1（x）的图形关于直线y＝x对称。
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隐函数若能由函数方程F（x，y）＝0确定y为x的函数y＝f（x），即F（x，f（x））≡0，就称y是x的隐函数。
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多元函数设点（x1，x2，…，xn）∈GÍRn，UÍR1，若对每一点（x1，x2，…，xn）∈G，由某规则f有唯一的u∈U与之对应：f：G→U，u＝f（x1，x2，…，xn），则称f为一个n元函数，G为定义域，U为值域。
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基本初等函数及其图像幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数称为基本初等函数。
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①幂函数：y＝xμ（μ≠0，μ为任意实数）定义域：μ为正整数时为（－∞，＋∞），μ为负整数时是（－∞，0）∪（0，＋∞）；μ＝!!!H0355_15(α为整数)，当α是奇数时为（－∞，＋∞），当α是偶数时为（0，＋∞）；μ＝p／q,p,q互素，作为!!!H0355_16的复合函数进行讨论。略图如图2、图3。
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②指数函数：y＝ax（a＞0，a≠1），定义成为（－∞，＋∞），值域为（0，＋∞），a＞0时是严格单调增加的函数（即当x2＞x1时，!!!H0355_17），0＜a＜1时是严格单减函数。对任何a，图像均过点（0，1），注意y＝ax和y＝（!!!H0355_18）x的图形关于y轴对称。如图4。
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　　②指数函数：y＝ax（a＞0，a≠1），定义成为（－∞，＋∞），值域为（0，＋∞），a＞0时是严格单调增加的函数（即当x2＞x1时，!!!H0355_17），0＜a＜1时是严格单减函数。对任何a，图像均过点（0，1），注意y＝ax和y＝（!!!H0355_18）x的图形关于y轴对称。如图4。
  
  
第40行： 第31行：
 
图4
 
图4
  
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③对数函数：y＝logax（a＞0），称a为底，定义域为（0，＋∞），值域为（－∞，＋∞）。a＞1时是严格单调增加的，0＜a＜1时是严格单减的。不论a为何值，对数函数的图形均过点（1，0），对数函数与指数函数互为反函数。如图5。
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　　③对数函数：y＝logax（a＞0），称a为底，定义域为（0，＋∞），值域为（－∞，＋∞）。a＞1时是严格单调增加的，0＜a＜1时是严格单减的。不论a为何值，对数函数的图形均过点（1，0），对数函数与指数函数互为反函数。如图5。
  
  
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图5
 
图5
 
以10为底的对数称为常用对数，简记为lgx。在科学技术中普遍使用的是以e为底的对数，即自然对数，记作lnx。
 
以10为底的对数称为常用对数，简记为lgx。在科学技术中普遍使用的是以e为底的对数，即自然对数，记作lnx。
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④三角函数：见表2。
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　　④三角函数：见表2。
  
  
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⑤反三角函数：见表3。双曲正、余弦如图8。
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　　⑤反三角函数：见表3。双曲正、余弦如图8。
  
  
第75行： 第67行：
 
图8
 
图8
  
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⑥双曲函数：双曲正弦!!!H0355_19（ex－e-x），双曲余弦（ex＋e-x），双曲正切（ex－e-x）／（ex＋e-x），双曲余切（ex＋e-x）／（ex－e-x）。
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　　⑥双曲函数：双曲正弦!!!H0355_19（ex－e-x），双曲余弦（ex＋e-x），双曲正切（ex－e-x）／（ex＋e-x），双曲余切（ex＋e-x）／（ex－e-x）。

2017年3月15日 (三) 06:06的版本

　　函数（functions），数学中的一种对应关系，是从某集合A到实数集B的对应。简单地说，甲随着乙变，甲就是乙的函数。精确地说，设X是一个不空集合，Y是某个实数集合，f是个规则，若对X中的每个x，按规则f，有Y中的一个y与之对应，就称f是X上的一个函数，记作y＝f（x），称X为函数f（x）的定义域，Y为其值域，x叫做自变量，y为因变量。 例：y＝sinxX＝［0，2π］，Y＝［－1，1］，它给出了一个函数关系。当然，把Y改为Y1＝（a，b），a＜b为任意实数，仍然是一个函数关系。

　　复合函数　有3个变量，y是u的函数，y＝ψ（u），u是x的函数，u＝f（x），往往能形成链：y通过中间变量u构成了x的函数： x→u→y，这要看定义域：设ψ的定义域为U。f的值域为U，当U*ÍU时，称f与ψ构成一个复合函数，例如y＝lgsinx，x∈（0，π）。此时sinx＞0，lgsinx有意义。但如若规定x∈（－π，0），此时sinx＜0，lgsinx无意义，就成不了复合函数。

　　反函数　就关系而言，一般是双向的，函数也如此，设y＝f（x）为已知的函数，若对每个y∈Y，有唯一的x∈X，使f（x）＝y，这是一个由y找x的过程，即x成了y的函数，记为x＝f-1（y）。称f-1为f的反函数。习惯上用x表示自变量，故这个函数仍记为y＝f-1（x），例如y＝sinx与y＝arcsinx互为反函数。在同一坐标系中，y＝f（x）与y＝f-1（x）的图形关于直线y＝x对称。

　　隐函数　若能由函数方程F（x，y）＝0确定y为x的函数y＝f（x），即F（x，f（x））≡0，就称y是x的隐函数。 多元函数设点（x1，x2，…，xn）∈GÍRn，UÍR1，若对每一点（x1，x2，…，xn）∈G，由某规则f有唯一的u∈U与之对应：f：G→U，u＝f（x1，x2，…，xn），则称f为一个n元函数，G为定义域，U为值域。

　　基本初等函数及其图像　幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数称为基本初等函数。

　　①幂函数：y＝xμ（μ≠0，μ为任意实数）定义域：μ为正整数时为（－∞，＋∞），μ为负整数时是（－∞，0）∪（0，＋∞）；μ＝!!!H0355_15(α为整数)，当α是奇数时为（－∞，＋∞），当α是偶数时为（0，＋∞）；μ＝p／q,p,q互素，作为!!!H0355_16的复合函数进行讨论。略图如图2、图3。


图2



图3


　　②指数函数：y＝ax（a＞0，a≠1），定义成为（－∞，＋∞），值域为（0，＋∞），a＞0时是严格单调增加的函数（即当x2＞x1时，!!!H0355_17），0＜a＜1时是严格单减函数。对任何a，图像均过点（0，1），注意y＝ax和y＝（!!!H0355_18）x的图形关于y轴对称。如图4。


图4

　　③对数函数：y＝logax（a＞0），称a为底，定义域为（0，＋∞），值域为（－∞，＋∞）。a＞1时是严格单调增加的，0＜a＜1时是严格单减的。不论a为何值，对数函数的图形均过点（1，0），对数函数与指数函数互为反函数。如图5。


图5 以10为底的对数称为常用对数，简记为lgx。在科学技术中普遍使用的是以e为底的对数，即自然对数，记作lnx。

　　④三角函数：见表2。


表：表2

正弦函数、余弦函数如图6，图7所示。


图6



图7


　　⑤反三角函数：见表3。双曲正、余弦如图8。


表：表3



图8

　　⑥双曲函数：双曲正弦!!!H0355_19（ex－e-x），双曲余弦（ex＋e-x），双曲正切（ex－e-x）／（ex＋e-x），双曲余切（ex＋e-x）／（ex－e-x）。

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