函数

　　函数（functions），数学中的一种对应关系，是从某集合A到实数集B的对应。简单地说，甲随着乙变，甲就是乙的函数。精确地说，设X是一个不空集合，Y是某个实数集合，f是个规则，若对X中的每个x，按规则f，有Y中的一个y与之对应，就称f是X上的一个函数，记作y＝f（x），称X为函数f（x）的定义域，Y为其值域，x叫做自变量，y为因变量。 例：y＝sinxX＝［0，2π］，Y＝［－1，1］，它给出了一个函数关系。当然，把Y改为Y₁＝（a，b），a＜b为任意实数，仍然是一个函数关系。

　　复合函数　有3个变量，y是u的函数，y＝ψ（u），u是x的函数，u＝f（x），往往能形成链：y通过中间变量u构成了x的函数：

　　x→u→y，这要看定义域：设ψ的定义域为U。f的值域为U，当U^*U时，称f与ψ构成一个复合函数，例如y＝lgsinx，x∈（0，π）。此时sinx＞0，lgsinx有意义。但如若规定x∈（－π，0），此时sinx＜0，lgsinx无意义，就成不了复合函数。

　　反函数　就关系而言，一般是双向的，函数也如此，设y＝f（x）为已知的函数，若对每个y∈Y，有唯一的x∈X，使f（x）＝y，这是一个由y找x的过程，即x成了y的函数，记为x＝f^-1（y）。称f^-1为f的反函数。习惯上用x表示自变量，故这个函数仍记为y＝f^-1（x），例如y＝sinx与y＝arcsinx互为反函数。在同一坐标系中，y＝f（x）与y＝f^-1（x）的图形关于直线y＝x对称。

　　隐函数　若能由函数方程F（x，y）＝0确定y为x的函数y＝f（x），即F（x，f（x））≡0，就称y是x的隐函数。

　　多元函数　设点（x₁，x₂，…，x_n）∈GRⁿ，UR¹，若对每一点（x₁，x₂，…，x_n）∈G，由某规则f有唯一的u∈U与之对应：f：G→U，u＝f（x₁，x₂，…，x_n），则称f为一个n元函数，G为定义域，U为值域。

　　基本初等函数及其图像　幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数称为基本初等函数。

　　①幂函数：y＝x^μ（μ≠0，μ为任意实数）定义域：μ为正整数时为（－∞，＋∞），μ为负整数时是（－∞，0）∪（0，＋∞）；μ＝(α为整数)，当α是奇数时为（－∞，＋∞），当α是偶数时为（0，＋∞）；μ＝p／q,p,q互素，作为的复合函数进行讨论。略图如下图（左）、图（右）。

　　　　　　

　　②指数函数：y＝a^x（a＞0，a≠1），定义成为（－∞，＋∞），值域为（0，＋∞），a＞0时是严格单调增加的函数（即当x₂＞x₁时，a^x₂＞a^x₁，0＜a＜1时是严格单减函数。对任何a，图像均过点（0，1），注意y＝a^x和y＝（）^x的图形关于y轴对称。如下图。

　　　　

　　③对数函数：y＝log_ax（a＞0），称a为底，定义域为（0，＋∞），值域为（－∞，＋∞）。a＞1时是严格单调增加的，0＜a＜1时是严格单减的。不论a为何值，对数函数的图形均过点（1，0），对数函数与指数函数互为反函数。如下图。

　　　　

　　以10为底的对数称为常用对数，简记为lgx。在科学技术中普遍使用的是以e为底的对数，即自然对数，记作lnx。

　　④三角函数：见下表。

　　　　

　　正弦函数、余弦函数如下图（左）、图（右）。

　　　　　　

　　⑤反三角函数：见下表。

　　　　

　　双曲正、余弦如下图。

　　　　

　　⑥双曲函数：双曲正弦（e^x－e^-x），双曲余弦（e^x＋e^-x），双曲正切（e^x－e^-x）／（e^x＋e^-x），双曲余切（e^x＋e^-x）／（e^x－e^-x）。