同调代数学
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同调代数学（拼音：tóng diào dài shù xué；英语：homological algebra），20世纪40年代中期创立的代数学的重要分支，与代数拓扑学有紧密的关系。同调代数为环、群、李代数等代数结构的研究提供了有力的工具，在代数几何与代数拓扑等学科中也有重要应用。它研究的主要对象是模，但主要结果都可推广到更广的范畴。
任一环R上的左（右）R模M都有投射分解
式中一切 Pj 都是投射左 R模，即自由左 R模（有基模）的直和项，且左 R模同态 d j+1 的像与 dj 的核相等（即正合列，只要求 dj d j+1＝0时称为 复形）， j＝0,1,…, n−1。上述 n＜∞不存在时定义 M的左投射维数lpd( M)＝∞, n＜∞存在时上述分解与 n都不唯一，定义lpd( M)＝inf{ n}。称lgD( R)＝sup{ lpd M b M为左 R模}为 R的 左整体维数。类似地可定义 R的 右整体维数rgD( R)。lgD( R)＝0等价于rgD( R)＝0 即 R 为阿廷半单环；lgD( R)≤1（未必有rgD( R) ≤1）等价于 R为左遗传环（一切左理想都是投射模的环），从而给环性质一个有用的同调刻画。通过张量积可定义投射模的推广——平坦模并由此定义模的左（右）平坦维数及环 R的弱维数WD( R)。WD( R)＝0等价于 R为正则环（即
，有 r′∈ R使 rr′ r＝ r）用张量积函子7与 同态函子Hom以及它们的导出函子Tor与Ext，可使这种理论更加完善，应用也更加方便。
