复变函数论
复变函数论theory of functions of a complex variable，数学的一个分支学科。研究定义域与值域均为复数集的函数 。复数是形如a＋ib的数，其中a ，b是任意实数，i称为虚单位，表示√（-1），即满足关系式i2＝－1，复数与平面上的点（a，b）具有一一对应关系。
L.欧拉在初等函数中引进了复变数，并给出了著名的欧拉公式eix＝cosx＋isinx，欧拉公式揭示了三角函数与指数函数的关系。欧拉和J.L.R.达朗贝尔在研究水力学时引用了一般的复变函数f（z）＝u（x，y）＋iv（x，y），并提出f（z）在域D可导的充要条件是u，u 可微且满足条件δu/δx=δv/δy，δu/δy=δv/δx，这一条件后来被称为柯西-黎曼条件，而域D上的可导函数被称为解析函数或全纯函数。当u，u有二阶连续偏导数时，由柯西-黎曼条件容易推出，u，u都满足拉普拉斯方程，因而它们都是调和函数，由于它们有柯西-黎曼条件相联系，故称v是u的共轭调和函数。
A.-L.柯西定义了复变函数的积分，建立了复积分的理论，他证明了柯西积分定理：f (z )是单连通区域D上的解析函数，则f（z）沿D内任意一条简单光滑闭曲线积分为零。从柯西积分定理可推出一系列重要结论，诸如柯西积分公式 、柯西不等式、唯一性定理，最大模原理等。特别可以证明 ：解析函数一定存在任意阶导数，并且在解析域内任一点的一个邻域上可以展为幂级数。另外，还可以导出留数基本定理，利用这一定理可以证明重要的代数基本定理，还能计算一些较为复杂的定积分。
解析函数W＝f（z）作为一个映照将复数z的平面上的区域变为ω平面上的区域，而且这样的映照具有局部的近似的同向相似性，因而称为保形映射。B.黎曼关于保形映射的研究奠定了复变函数几何理论的基础，他提出并证明了保形映射的存在唯一性定理：设D为边界多于一点的单连通区域，z0∈D ，则存在唯一的解析函数ω＝f（z）将D双方单值保形映射为单位圆｜ω｜＜1，且满足f（z0）＝0，f（z0）＞0。根据这个定理，单连域上的解析函数常常可以化到单位圆上去研究，因而保形映射在复变函数应用上具有重要地位，H.E.茹科夫斯基用保形映射研究飞机机翼绕流升力问题就是著名的例子。在黎曼之后，C.卡拉西奥多里进一步提出，上述映射定理中，若的边界是一条简单闭曲线L，则f（z）可以连续开拓到上，且实现L到｜ω｜＝1的一一对应连续映射。
K.魏尔斯特拉斯以幂级数为工具研究解析函数，当幂级数有正收敛半径R时，则幂级数的和函数f（z）在收敛圆内为解析函数，而在收敛圆周上至少有一个奇点z0，即不存在在以z0为心的小邻域Δ内解析，而在Δ∩（｜z｜＜R）上等于f（z）的函数。若在收敛圆周上有一点z1不是奇点，则存在z1的邻域Δ1，在Δ1上有一解析函数g（z），Δ1∩（｜z｜＜R)上g（z）＝f（z），这样f（z）就被解析开拓到了｜z｜＜R外，用这样的方法作所有可能的开拓，得到的函数被称为魏尔斯特拉斯完全解析函数。
完全解析函数可能是单值的，也可能是多值的。对于单值函数，最基本的两类是整函数和亚纯函数，整函数是在全平面上的解析函数，它是多项式的推广，它有推广的因式分解定理，亚纯函数是有理函数的推广，它有推广的部分分式展开定理，这两类函数的重要研究课题是值分布理论，毕卡定理是值分布理论中的古典定理，而R.奈望林纳建立了亚纯函数值分布的近代理论，对函数论的发展产生了重要影响。
对于多值性完全解析函数，存在有一些称为支点的点，当自变量绕支点一周时，函数值会由一个分支值连续地变为另一个分支值。这类多值函数在黎曼曲面上可成为单值函数，后来又建立了抽象黎曼曲面的概念，成为现代数学基本概念——流形的雏形。抽象黎曼面不仅自身理论完美，而且它为代数几何、自守函数、复流形、代数数论等近代数学重要分支的研究提供了简单明了的模型。
单位圆上规范化的单叶函数：z＋a2z2＋……＋anzn＋……，曾由于著名的比伯巴赫猜想：｜an｜≤n而被许多数学家所研究，其研究成果促进了单叶函数几何理论的发展，这一猜想于1984年为美国数学家L.德布朗基完全证实。
L.伯斯和I.N.韦夸引入广义解析函数概念，它是与柯西-黎曼条件有关的一个偏微分方程组的复解，由这类解所确定的映照称为拟保形映射，是现代复变函数论研究的重要课题。除此之外，解析函数的边界性质，解析函数的正规族理论，H∧p空间理论等都是复变函数论现代研究方向。
单复变函数论到多复变函数论的推广似乎应该是很自然的，但实际研究结果表明，由于定义域的复杂性引起了许多本质的差异。使多复变函数理论的建立需要借助于更多的近代数学工具，它还有大量的基本课题有待研究。
复变函数论已有750年的历史，它以其完美的理论和精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分，曾推动一些学科的发展，在解决某些实际问题中复变函数论也是强有力的工具，它的基础内容已成为理工科大学许多专业的必修课程。
