复数
复数（汉语拼音：Fu shu；英语：complex number），形如a＋bi的数。式中a，b 为实数，i是 一个满足i2＝－1的数，因为任何实数的平方不等于－1，所以i不是实数，而是实数以外的新的数。在复数a＋bi中，a 称为复数的实部，b称为复数的虚部，i称为虚数单位。当虚部等于零时，这个复数就是实数；当虚部不等于零时，这个复数称为虚数，虚数的实部如果等于零，则称为纯虚数。由上可知，复数集包含了实数集，因而是实数集的扩张。
复数的产生来自解代数方程的需要。16世纪，意大利数学家G.卡尔达诺首先用公式表示出了一元三次方程的根，但公式中引用了负数开方的形式，并把i＝√（-1）当作数，与其他数一起参与运算。由于人们无法理解√（-1）的实质，所以在很长时间内不承认负数的平方根也是数，而称之为虚数。直到19世纪，数学家们对这些虚数参与实数的代数运算作出了科学的解释，并在解方程和其他领域中使虚数得到了广泛的应用，人们才认识了这种新的数。
复数的四则运算规定为：
（a＋bi）＋（c＋di）＝（a＋c）＋（b＋d）i，
（a＋bi）－（c＋di）＝（a－c）＋（b－d）i，
（a＋bi）·（c＋di）＝（ac－bd）＋（bc＋ad）i，
图片（c与d不同时为零）。
复数有多种表示形式，常用形式z＝a＋bi叫做代数式。此外有下列形式。
①几何形式。复数z＝a＋bi 用直角坐标平面上点Z（a，b）表示。这种形式使复数的问题可以借助图形来研究。也可反过来用复数的理论解决一些几何问题。
②向量形式。复数z＝a＋bi用一个以原点O为起点，点Z（a，b）为终点的向量OZ表示。这种形式使复数的加、减法运算得到恰当的几何解释。
③三角形式。复数z＝a＋bi化为三角形式
z＝｜z｜（cosθ＋isinθ）
式中｜z｜=√（a∧2+b∧2），叫做复数的模（或绝对值）；θ是以x轴为始边；向量OZ为终边的角，叫做复数的辐角。这种形式便于作复数的乘、除、乘方、开方运算。
④指数形式。将复数的三角形式z＝｜z｜(cosθ＋isinθ）中的cosθ＋isinθ换为 eiq，复数就表为指数形式 z＝｜z｜eiq，复数的乘、除、乘方、开方可以按照幂的运算法则进行。
复数集不同于实数集的几个特点是：开方运算永远可行；一元n次复系数方程总有n个根（重根按重数计）；复数不能建立大小顺序。
