实数

　　实数（汉语拼音：Shishu；英语：Real Number），有理数概念的推广。只有有理数，达不到数学应用的基本要求之一——以确定的数表示给定的量，例如边长为1的正方形对角线之长就不能用有理数表示。数学自身的发展，例如开方、解方程等，只有有理数难于完善处理，因此必须扩充有理数。

　　公元前5世纪，古希腊希帕苏斯已发现不可公度量。欧多克索斯（约前400～前347）创立了对可公度量和不可公度量都适用的关于比例的几何理论。但古希腊数学家过于强调几何和逻辑的严密性，不承认非有理数。印度数学家婆什迦罗第二（1114～约1185）等打破了有理数和非有理数的界限，运算时对两者同样处理。阿拉伯人也像印度人那样随便使用非有理数，说可公度或不可公度量之比都可称为数。欧洲数学家在16世纪前大都说非有理数不是真正的数。到了1685年，S.斯蒂文已进步到用十进小数无限逼近所讨论的量。I.牛顿在1707年强调，数应理解为某个量对取作单位的量的抽象之比。随着微积分和级数理论的建立和发展，出现了表示数的新方法。

　　19世纪末期，K.外尔斯特拉斯（1859年起），H.C.R.梅雷（1869），J.W.R.戴德金（1872）和G.康托尔（1872）等分别建立了严密的实数理论。他们都采用构造性方法，通过有理数定义实数。现代也常通过公理途径建立实数理论。