代数整数环
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代数整数环（英语：ring of algebraic integers），代数数域中的所有代数整数构成的环。设K是一个代数数域，以OK记K的代数整数环。
如果K是一个n次代数数域，则OK中存在n个元素α1,…,αn，使得OK中的任一元素α可以唯一地表示为α＝a1α1＋…＋anαn,ai为有理整数(i＝1,…,n)。这样的α1,…,αn称为K（或OK）的整基。
若α和1/α都属于OK，则称α是OK中的可逆元素或单位。OK中所有可逆元素组成一个乘法群，称为K的单位群。此群等于K中的单位根和若干个所谓“基本单位”所生成的自由交换群的直积。K的基本单位的个数等于r1＋r2－1，其中r1是K到实数域的单同态的个数，r2是K到复数域的单同态（其像不含于实数域）的个数的一半。
代数整数环中不是可逆的非零元素，若不可表示为两个非可逆元素的乘积，则称为不可分解的元素。代数整数环中的不是可逆的非零元素可以分解为不可分解的元素的乘积，但是分解的唯一性不一定成立。例如，
的整基为1,
，在 OK中有
，而3和
都是 OK中的不可分解的元素。
这种分解的不唯一性是代数整数环与有理整数环的主要差别。刻画这个差别的一个重要概念是代数数域K的理想类数即理想类群的阶。类数等于1就是在代数整数环 OK中分解的唯一性成立，这样的代数整数环与有理整数环基本有同样的数论性质。
