保形几何学
保形几何学（英语：conformal geometry），研究图形在保形变换下不变性质的几何学分支。又称共形几何学。设U，V是欧氏空间E n的两个开区域，f:U→V是一一对应，并且是可微的。如果f保持U中任意两条曲线的夹角不变，则称f:U→V是保形映射（或保角映射）。从E n到它自身的保形映射(n≥2)一定是En到它自身的相似变换。如果在En中去掉一点O，设U＝En\{0}，取定一个正数r，则可定义映射σ:U→U，使得
σ称为关于以 O为中心，以 r为半径的超球面的反演。反演是保形映射，但不是相似变换。中心 O在反演 σ下没有像点。为了克服这个困难，设想在 En上添加一个无穷远点，它是 O在反演 σ下的像。将扩大的欧氏空间记为Ẽn= En∪{∞}，那么 σ是从Ẽn到它自身的保形映射。
Ẽn和En+1中的单位球面Sn可以等同起来。事实上在Sn取定南极点Q=(0,…,−1)∈En+1，以Q为中心的球极投影τ是从Sn\{Q}到赤道平面En的一一对应，并且把南极点Q对应于Ẽn的无穷远点∞。球极投影τ:Sn→Ẽn本身是保形映射，故Ẽn到它自身的保形变换σ借助于τ成为Sn到它自身的保形变换τ·σ·τ－1。Sn到它自身的保形变换的全体构成一个群，称为保形变换群。因此，保形几何学实际上是球面Sn在保形变换群作用下的几何学。
在n=2的情形，Ẽ2可以看作扩大的复平面C=C/∪{∞}，此时分式线性变换W=(az+b)/(cz+d)，其中a,b,c,d是复数，且ad－bc≠0，以及复共轭w=z都是保形变换，并且从C到它自身的任意一个保形变换都可实现为分式线性变换，或复共轭，或它们的合成。如果U是C的一个开区域，则定义在U上的任意一个全纯函数f:U→C都给出了从U到f(U)的保形映射。
球面Sn可以等同于n+1维射影空间Pn+1中的2次锥面
而且 Sn上的保形变换群同构于相应的射影变换群中保持这个2次锥面不变的子群。
绘制地图的麦卡托投影和球极投影都是保形映射的实际应用。
