泛代数

泛代数（英语：universal algebra），研究一般代数系的数学分支。代数系是群、环、布尔代数、模、格、半群等的抽象与概括。

设A为一个非空集合，A上的一个n元运算是一个从n个A的笛卡儿积A×A×…×A到A的映射ω，即对A中任意元素a₁,a₂，…，a_n（有序但可重复），必有唯一（由a₁,a₂,…,a_n确定）的A的元素a，使a为(a₁,a₂,…,a_n)在ω下的像。规定一个零元运算就是在A中标定一个元素。比如乘法群有一个二元运算（乘法）、一个一元运算（取逆元）与一个零元运算（标定单位元）。一般地，一个代数系由一个非空的元素集A与A上的一个运算集Ω（可含无限多个运算）组成，常记为〈A,Ω〉，也常被称为Ω代数（简称代数）。

对两个代数系〈A,Ω〉与〈A′,Ω ′〉，若运算集Ω与Ω ′之间有一个一一对应φ，且对应的运算是相同元数的，则称〈A,Ω〉与〈A′,Ω ′〉是同型的。有单位元的环包含两个二元运算（加法与乘法）、一个一元运算（取负元）与两个零元运算（取零元与单位元）与布尔代数〔包含两个二元运算（交∧与并∨）、一个一元运算（*，取补元）〕以及域（加法、乘法，取负元、零元与单位元）都是同型的。注意域中取逆元不是一元运算，只是一个“部分运算”（零元无逆元）。

对两个同型代数系〈A,Ω〉与〈A′,Ω ′〉，若有映射f :A→A′，在Ω与Ω ′的一一对应下，保持各运算结果的对应，则称f为〈A,Ω〉到〈A′,Ω ′〉的一个同态；f也是一一对应时，又称f为它们之间的一个同构。

若代数系〈A,Ω〉的元素集A上有一个等价关系θ，使得A中有关系θ的元素经Ω中的运算后仍保有这个关系θ，则称θ为〈A,Ω〉的一个合同关系，比如整数环(Z,+,·)关于mod m（模m取余）。A关于θ的等价类集合记为A，则〈A,Ω〉与〈A,Ω〉同型且映射f:a 7 a（a所在的等价类）给出它们之间的一个同态。类似于子环、子群、子格、子模等，还可定义〈A,Ω〉的子代数系。有的子代数系（如群的正规子群）可给出合同关系，有的子代数系则不能给出合同关系（如非正规的子群）。然而，对泛代数仍有和群论中类似的同态基本定理与关于同构的两条基本定理，且类似地也讨论泛代数的子代数格、合同关系格与自同构群等。

自由Ω代数是泛代数的基本概念之一。任取非空集M与集Ω={ω_λ(n_λ元运算)，λ∈I}。n_λ=0的ω_λ全体，记为Ω₀，且令N=M∪Ω₀。可归纳地定义长为n（非负整数）的字。规定N中的元素是长为0的字，设长为m的字已定义(m＜n)，规定长为n的字是形如(a₁,a₂,…,a_k,ω)的符号，其中ω∈Ω为k元运算，k≥1,a_i是长为m_i的字且

。记 F为全体字的集合，在 F中规定 n_λ元运算 ω_λ∈ Ω为

a₁ a₂… a_nλ ω_λ=( a₁, a₂,…, a_nλ, ω_λ)

则得一个 Ω 代数〈 F, Ω〉，称为自由Ω 代数，记为 F( Ω, M)。任一 Ω 代数都可视为某个自由 Ω 代数的同态像。上述方法已使泛代数在自动机理论与代数语言学中得到重要应用。

参见

• 数学
• 数学基本条目
• 代数学