自然数
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自然数（英语：Natural Number），人类由比较进而计量事物多少的需要形成的最早的数学概念。现代通用阿拉伯数字（又称印度–阿拉伯数字），记作0,1,2,3…阿拉伯数字始创于中印边界地区（但是没有0），后来传到阿拉伯地区，而得此名。自然数概念初步形成当在史前时期，详情已难于追索。所有具有文字的民族很早都已掌握自然数并建立了计数系统，这表示自然数是人类文明发轫标志之一。某些民族语言中有表示诸如“3个人”、“3只船”的词而无表示抽象的“3”的词，这表明形成自然数概念经历时间应当很长。受惠于先人、从小习惯于计数的今人，实已难于体味其形成过程之漫长，产生意义之重大。
自然数中加法（+）和乘法（×或·）两种运算，满足(k,m,n均表示自然数）：
①结合律：(k+m)+n=k+(m+n), (k·m)·n=k·(m·n)；
②交换律：m+n=n+m,m·n=n·m；
③分配律：k·(m+n)=k·m+k·n。
自然数之间有序关系≤，满足①自反性：n≤n；②对称性：若m≤n,n≤m则m=n；③传递性：若k≤m,m≤n，则k≤n；④加法和乘法的保序性：若m≤n，则k+m≤k+n，k·m≤k·n。
自然数的本质属性由数学归纳公理(数学归纳法)所刻画。它的另一重要性质是最小自然数原理：每个由自然数组成的集合中必有最小元素。
现代一般通过皮亚诺公理建立自然数概念，自然数也可以基于有限集的基数来定义。
J.冯·诺伊曼于1923年给出自然数的集论定义。粗浅地说，以∅表示空集，定义∅为0，{0}={∅}为1，1∪{1}={∅,{∅}}为2,…，一般地说，n∪｛n｝为n+1。在此定义下，0是自然数。这就是现在把0归入自然数的一种看法。
