刚体动力学

　　刚体动力学（rigid body，dynamics of），一般力学的一个分支，研究刚体在外力作用下的运动规律。它是机器部件的运动，舰船、飞机、火箭等航行器的运动以及天体姿态运动的力学基础。

　　刚体平动　刚体运动的简单形态。它在动力学上有两层意义：①当刚体满足平动的动力学条件时，刚体所作的实际运动。②刚体作一般运动时所分解出的平动部分。刚体平动时，其中各质点的轨迹、速度、加速度全一样，所以可用刚体质心的运动来代表。应用质心运动定理，可建立刚体平动的运动微分方程：，式中M为刚体质量；为刚体质心加速度；F为作用在刚体上所有外力的主矢。刚体实际作平动的动力学条件是：F必须通过质心，且刚体绕质心的初始角速度为零。当不满足上述条件之一时，刚体作一般运动。刚体平动的运动微分方程和质点的运动微分方程形式上完全一致。刚体动力学中有特征的内容乃是对刚体转动规律的研究。

图1：刚体定轴转动

　　刚体定轴转动　刚体转动的最简单形态。当刚体以角速度ω绕OZ轴转动时（图1），整个刚体对O_Z轴的动量矩为：

　　　　

　　式中I_Z是刚体绕旋转轴的转动惯量。应用动量矩定理，可建立刚体定轴转动的运动微分方程：

　　　　

　　式中为刚体绕定轴转动的角加速度；M为作用在刚体上所有外力对转轴之矩的代数和。应用刚体定轴转动的运动微分方程可对复摆的运动规律、旋转机械输入和输出功率同平衡转速的关系进行研究。刚体定轴转动的另一重要研究课题是支承的动载荷。动载荷是与刚体转动角速度有关的载荷。当刚体既满足静平衡条件——刚体的重心在转动轴上，又满足动平衡条件——旋转轴是惯性主轴时，支承才不受动载荷的作用。这个结论有重要的工程应用价值。

图2：刚体平面运动

　　刚体平面运动　刚体内任一点到某一固定平面的距离保持不变的运动，又称刚体平面平行运动。直线轨道上滚动的车轮、机车上的曲柄连杆机构等做的都是平面运动。过刚体质心C作一个固定平面，此平面在刚体上截得一平面图形S（图2）。

　　此图形在上述固定平面上的运动完全刻画了刚体的平面运动。刚体的平面运动可由质心C在平面上相对固定坐标系Oxy的运动和刚体绕过C并同固定平面垂直的C_Z轴的转动合成。刚体绕C_Z轴旋转的转动惯量是常值I，绕C轴的动量矩为。

　　根据质心运动定理以及绕质心的动量矩定理，可建立刚体平面运动的微分方程：

　　　　，，，

　　式中M为刚体质量；F_x、F_y为作用在刚体上所有外力在_x、_y轴上投影的代数和；X_c、Y_c为质心坐标；M_Z为所有外力对C_Z轴的矩的代数和；为刚体转动的角加速度。利用上述方程并给出刚体运动的初始状态，就可求出刚体平面运动的规律。

　　刚体定点转动　刚体绕一固定点的运动。设刚体绕固定点O转动，L为整个刚体对O点的角动量矢量，M为刚体所受诸外力对O点的力矩的矢量和。将角动量定理的矢量方程投影到同刚体固联的坐标系上，可以得到刚体绕定点O转动的一般方程。若特别选定刚体固联坐标系O_x′y′z′为刚体对O点的惯性主轴坐标系，则刚体定点转动的欧拉动力学方程：

　　　　,

　　　　,

　　　　,

　　式中为刚体绕_x′y′z′轴的转动惯量；为刚体绕通过定点O的某一瞬时转轴转动的角速度矢量ω在_x′y′z′轴上的投影；为所有外力对O点的力矩的矢量和M在_x′y′z′轴上的投影。将欧拉动力学方程同欧拉运动学方程（见欧拉角）结合在一起，就构成求解刚体定点转动的封闭的运动微分方程组。它是由6个一阶非线性微分方程组成；从中消去ω′_x、ω′_y、ω′_Z，可得到对欧拉角θ、ψ、φ的3个二阶非线性微分方程。寻求此运动微分方程组的完全积分，一般说来非常困难。如果M_x′＝M_y′＝M_z′＝0，则刚体绕定点的运动称为纯惯性运动，可以彻底分析求解。对有外力矩作用的一般情况，刚体的运动非常复杂，仅在刚体的惯量椭球回转对称，且初始状态有绕旋转轴的高速自转，从而具有大的自转角动量情况下，刚体绕定点的受迫运动才呈现较简单的陀螺运动规律。对刚体在重力作用下绕定点转动的问题曾进行过长期研究。要找到足够的积分组来一般性地求解这种简单问题，只有在三种（即欧拉、拉格朗日和柯娃列夫斯卡娅）特殊情形下才有可能。

　　刚体一般运动　即对运动学条件无任何限制的刚体自由运动。设C为刚体的质心，C_x′y′z′为同刚体固联的质心惯性主轴坐标系。因刚体一般运动可由平动和绕质心的转动合成，故应用质心运动定理和对质心的角动量定理，即可建立刚体一般运动的微分方程。再利用欧拉运动学方程和初始条件，即可确定刚体在空间的一般运动规律。刚体一般运动的研究对研究各种航行器轨迹和姿态运动之间的相互关系有重要意义。

　　以上研究的只限于单刚体动力学。随着现代科学技术的发展，多刚体系统动力学的研究在进行中。