积分方程

　　积分方程（英文：integral equation），积分号下含未知函数的方程。如果未知函数以线性形式出现于方程中，就叫线性积分方程，否则就称为非线性积分方程。在积分方程正式出现之前，有的数学分支中的问题，事实上有了积分方程。如1782年，P.-S.拉普拉斯考虑过它是g（t）的积分方程。在1823年S.D.泊松得到它的解为。第一个自觉地直接应用并解出积分方程的人是N.H.阿贝尔。他研究在地球引力场中的一个质点下落轨迹问题时提出的方程，是最早的积分方程：。他得到了解。

　　积分方程一词是1888年P.du.B.雷蒙德提出的。1899年瑞典数学家E.I.弗雷德霍姆和意大利V.沃尔泰拉同时开创了线性积分方程方向，使积分方程理论逐步发展成一个数学分支。分别称以下的积分方程

　　　　

　　为第一类、二类、三类弗雷德霍姆积分方程。其中K（x，y）是在区域a≤x，y≤b上的连续函数，称为积分方程的核。A（x），ψ（x）在a≤x≤b上连续，ψ（x）是未知函数，λ为参数。（1）与（2）都是（3）的特例，但（1）与（2）有本质的区别。

　　沃尔泰拉也研究了三类方程，在（1）～（3）中将上限b换为x便是。如其他两个类似。但本质大不相同。

　　D.希尔伯特和E.施密特对第二类弗雷德霍姆方程做了重要的工作，特别是关于对称核积分方程的特征值的存在性以及关于特征函数的展开，得到希尔伯特-施密特定理。

　　由于科学技术的需要，开展了非线性积分方程的研究，发展很快。