同伦论
同伦论（英语：homotopy theory），代数拓扑学的一个主要组成部分。它研究与连续映射的连续形变有关的各种内容。由于许多几何问题可以归结为同伦问题，然后谋求代数拓扑的解决办法，所以同伦论广泛地受到关注。
同伦的概念，直观上不难理解，同伦就是连续形变。以“形变收缩”为例，图中的半球体K的边界包括半球面H与圆盘D。设想K是由可以伸缩的质料构成，很显然，保持H上每个点不动，沿垂直于D的方向挤压K，最后可以将半球体K压成半球面H。也就是说，H是K的“形变收缩核”。这个形变收缩的过程可以描写得更确切一些。过K的任意点x垂直于圆盘D的直线与半球面H交于点x。对于0≤t≤1，令xt表示分线段xx为t:1－t之点。不妨认为挤压是从时刻t＝0开始，到时刻t＝1时完成，而时刻t时点x沿着线段xx到达xt的位置。使x对应于xt，定义了半球体K自身的一个连续映射ft:K→K,ft(x)＝xt。于是，f0(x)＝x0＝x,f0为K自身的恒等映射，f1(x)1H，并且ft(y)＝y，当y∈H,ft就是一个“伦移”，使得K自身的恒等映射同伦于一个将K映入子集H的映射。
设f,g:X→Y为拓扑空间X到Y的两个连续映射。如果有连续映射H:X×I→X,I＝[0,1]，使得h(x,0)＝f(x),h(x,1)＝g(x)，则称f同伦于g，记作
在同伦论里，空间按同伦型而分类。如果存在连续映射f:X→Y,g:Y→X使得
，则称 X与 Y具有相同的同伦型，则称 f（或 g）为 同伦等价，这里， 1W: W→ W表示空间 W的恒等自映射。
同伦论的典型问题大体上有下列几个，以下映射均指连续映射。
同伦问题
对于给定映射f,g:X→Y，如何判断f与g是否同伦，如果f与常值映射同伦，则称f为零伦的，记作f-0。如何判断给定映射f是否零伦是这个典型问题的特例。
同调群提供了处理这个问题的工具。对任意整数n≥0，如果
，则 f *＝ g *∶ H n( X)→ H n( Y)。因此，如果对某一 n, f*≠ g *，则 f与 g一定不同 伦。但应注意，即使对所有 n, f *＝ g *, f与 g也未必同 伦。
扩张问题
设A1X，给定映射f:A→Y能否扩张为X到Y的映射，即是否存在映射g:X→Y，使得g(a)＝f(a)（对一切a∈A）。如果存在这样的映射g，则称g为f在X上的扩张，而f为g在A上的限制，记作g;A＝f。恒同映射1X在A上的限制
称为 A到 X的 内射。
提升问题
在研究流形上有没有非零向量场时，需要考虑映射的提升问题，它与扩张问题相对偶。提法如下：设p:X→B与f:Y→B是映射，是否存在映射g:Y→X，使得pg＝f:Y→B。如果存在这样的映射g，则称g为f关于p的提升。是否存在g的问题就是提升问题。
同伦分类问题
对于给定空间X与Y，如何由X与Y的已知的可计算的不变量去计算从X到Y的映射同伦类集合[X,Y]，这是代数拓扑学中经常碰到的问题，特别是同伦群的计算等。
如果X与Y满足一定的条件，则[X,Y]形成一个群。对n≥1及任意道路连通空间Y,W.赫维茨定义了πn(Y)＝[Sn,Y]。可以证明πn(Y)是一个群，而且π1(X)就是H.庞加莱所定义的基本群。当n≥2,πn(Y)是交换群。从而把πn(Y)称为空间Y的n维同伦群，它也是同伦不变量。
