度量空间
来自中文百科,文化平台
度量空间(汉语拼音：Du liang kong jian；英语：Metric Space)，在数学中是指一个集合，并且该集合中的任意元素之间的距离是可定义的。
概念
现代数学中一种基本的、重要的、最接近于欧几里得空间的抽象空间。19世纪末叶，德国数学家G.康托尔创立了集合论，为各种抽象空间的建立奠定了基础。20世纪初期，法国数学家M.R.弗雷歇发现许多分析学的成果从更抽象的观点看来，都涉及函数间的距离关系，从而抽象出度量空间的概念。
度量空间中最符合我们对于现实直观理解的是三维欧氏空间。这个空间中的欧几里德度量定义两点之间距离为连接这两点的直线的长度。
定义
设X为一个集合，一个映射d：X×X→R。若对于任何x,y,z属于X，有
（I）（正定性）d(x,y）≥0，且d(x,y)=0当且仅当x = y；
（Ⅱ）（对称性）d(x,y)=d(y,x）；
（Ⅲ）（三角不等式）d(x,z）≤d(x,y)+d(y,z）
则称d为集合X的一个度量（或距离）。称偶对（X，d）为一个度量空间，或者称X为一个对于度量d而言的度量空间。
举例
设X为任一非空集合，定义映射d：X×X→R如下
⑴对于X中任意元素x,d(x,x)=0;
⑵如果x,y是X中两个不同元素，则d(x,y)=1.
则这样定义的d满足（I）（Ⅱ）（Ⅲ），是集合X的一个度量。这样的度量称为离散度量。
极限
证明：度量空间中收敛序列的极限是唯一的
设{a-n}收敛于a且收敛于b。则对任意u>0，存在N使得对n>N有d(a-n,a)<u/2且d(a-n,b)<u/2，所以d(a,b)<=d(a-n,a)+d(a-n,b)0，故必有d(a,b)=0，所以a=b
