分析学
分析学（英语：analysis），在微积分学发展的基础上形成的一个数学分支，曾与几何学、代数学一起作为纯粹数学的主要分支。
17世纪I.牛顿和G.W.莱布尼兹同时创立了微积分。18世纪，物理学、天文学等领域提出了大量的课题，为解决这些问题，数学家们提供了新的理论与方法。只要物理上合用便予以通过，很少关注数学的严密性。产生了许多新的分支，如微分方程、变分法等，它们本身在最初也很难和微积分区分开来。
分析学的发展始终与力学、物理学和几何学紧密相关。其研究内容也随着时代发展而不断变化。17～18世纪的分析学，是以无穷小分析为主。当时人们主要是围绕着I.牛顿和G.W.莱布尼茨所创立的微积分理论与方法，以及无穷级数中的问题，进行研究。此外，当时人们把微积分的理论与方法广泛应用于天文、航海、机械制造、力学与物理学等方面。因此，当时的分析学还包括许多与应用有关的数学问题，如变分法、微分方程、积分方程等。19世纪，A.-L.柯西与K.外尔斯特拉斯等人发展了完善的极限理论，澄清了微积分概念中的某些问题，使得分析学的基础，特别是微积分和级数理论的基础，得到了严密化。在此基础上，变分法、微分方程得到了进一步发展。在这一时期，柯西、B.黎曼和外尔斯特拉斯从不同的角度研究了复变量的解析函数。这种研究不但有重要的理论价值，而且在许多方面有重要的应用价值。解析函数论的研究在19世纪的分析学中占有独特的地位，并取得了辉煌的成就。黎曼对解析函数和黎曼曲面的研究，以及黎曼的许多其他研究，为20世纪现代数学的进一步发展产生了深远影响。
20世纪初，É.波莱尔与H.L.勒贝格研究了集合测度的概念。勒贝格在他的测度理论（见勒贝格测度）的基础上建立了一种新的积分理论，突破了原来黎曼积分概念的某些限制。测度论与勒贝格积分使分析学中的许多研究，如傅里叶级数的研究，出现了新的面貌。此外，它们还为公理化概率论的建立奠定了基础。
由于研究变分法和积分方程的一般理论和其他方面的需求，产生并发展了泛函分析的理论。它使分析学的研究从有限维空间扩大到无限维空间。勒贝格积分在泛函分析中扮演着重要角色。泛函分析的发展又促进了近代微分方程理论、近代计算数学理论、概率论和数理统计的发展。
此外，电子计算机的发明与广泛使用促使计算数学迅速兴起，并形成了一个单独的数学分支。原本属于分析学中的数值分析后来发展成为一个单独的重要学科。这时，在分析学中只保留了其中的函数逼近论及其相关理论。
在20世纪中叶和下半叶，分析学的面貌发生了巨大变化，出现了许多新的分支或研究领域，如多复变函数论、群上的调和分析、非线性泛函分析、大范围变分法、动力系统、位势论、流形上的分析等。这些研究领域虽然仍可划归为分析学，但其研究内容与研究方法与经典的分析学已大相径庭；它们是经典的分析学与近代数学的其他分支相互交叉、相互渗透的结果。
