代数数
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代数数（英语：algebraic number），有理系数的一元非零多项式在复数范围内的零点，也就是次数不小于1的有理系数的代数方程的复数根。多项式乘以一个非零常数其零点不变，所以也可以限定这里的多项式的首项系数为1。不是代数数的复数称为超越数。
设α是一个代数数，则所有以α为零点的首项系数为1的有理系数多项式中的次数最低者，是被α唯一决定的，此多项式称为α的极小多项式。极小多项式在有理系数多项式范围内必定是不可约的(即不可表示为两个次数均≥1的有理系数多项式的乘积)。α的极小多项式的次数称为α的次数。α的极小多项式的其他的根称为与α共轭的代数数。显然，一次代数数就是有理数。所以代数数是有理数的推广。
α是二次代数数的充要条件是它可表示为
，其中 d是不等于1且无平方因数的整数，r, s是有理数且 s 不等于0。
代数数的和、差、积、商（除数不为0）仍然是代数数。所以复数集合中代数数的全体构成一个域，称为有理数域的代数闭包。以代数数为系数的一元非零多项式的零点一定也是代数数。
满足形如anxn＋an-1xn-1＋…＋a1x＋a0＝0（n≥1，an≠0）的某整系数代数方程的实数或复数。例如
是一个实代数数，它满足方程x2－2＝0。每个有理数
（m，n为整数，n≠0）都是代数数，因为它满足方程nx-m ＝0。可见代数数集包含了有理数集。然而，代数数集并不包含全部实数。代数数集是一个可数集，即所有代数数能与全体自然数建立一一对应，而实数集是不可数的无穷集，因此，一定存在不是代数数的实数。现已证明 π和e这些无理数不是代数数。不是代数数的数称为超越数。由此可见，就实数集而言，实数既可按有理数和无理数分为两类，又可按实代数数和实超越数分为两类。实代数数集是有理数集的自然扩充。
